Question

已知：如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點，圓心A的坐標為（1，0），⊙A的半徑為

5

，過C作⊙A的切線交x軸于點B．
（1）求切線BC的解析式；
（2）若點P是第一象限內⊙A上的一點，過點P作⊙A的切線與直線BC相交于點G，且∠CGP=120°，求點G的坐標；
（3）向左移動⊙A（圓心A始終保持在x軸上），與直線BC交于E、F，在移動過程中是否存在點A，使△AEF是直角三角形？若存在，求出點A的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，由勾股定理可求出OC的長，進而得出C點坐標，同理，由切線的性質及勾股定理即可得出OB的長，進而求出B點坐標，再用待定系數法即可求出過BC兩點的直線解析式；
（2）過G點作x軸垂線，垂足為H，連接AG，設G（x₀，y₀），在Rt△ACG中利用銳角三角函數的定義可求出CG的長，
由勾股定理可得出BC的長，由OC∥GH可得出

OH

BO

=

CG

BC

，進而可求出G點坐標；
（3）假設△AEF為直角三角形，由AE=AF可判斷出△AEF為等腰三角形，可得出∠EAF=90°，過A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF的長度，證出△BOC∽△BMA，由相似三角形的性質可得出A點坐標；當圓心A在點B的左側時，設圓心為A′，過A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，由全等三角形的性質可得出A′點的坐標．

解答：解：（1）連接AC，則OC=

( 5 )2-1

=2，故點C的坐標為（0，2），
∵BC為⊙O的切線，
∴AC⊥BC，
在Rt△ABC中，（OB+OA）²=BC²+AC²，即（OB+1）²=BC²+5①，
在Rt△OBC中，BC²=OB²+OC²，即OBC²=OB²+4②，
①②聯立得，OB=4，
∴點B的坐標為（-4，0）
∴直線BC的解析式為y=

1

2

x+2；

（2）如圖1：
解法一：過G點作x軸垂線，垂足為H，連接AG，設G（x₀，y₀），
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=

5

，求得CG=

15

3

，
又∵OB=4，
∴BC=

OB2+OC2

=2

5

，
∵OC∥GH，
∴

OH

BO

=

CG

BC

，則OH=

2 3

3

，即x₀=

2 3

3

，
又∵點G在直線BC上，
∴y₀=

1

2

×

2 3

3

+2
=

3

3

+2，
∴G（

2 3

3

，

3

3

+2），
解法二：過G點作y軸垂線，垂足為H，連接AG
在Rt△ACG中，∠AGC=60°，AC=

5

，求得CG=

15

3

，
由△BCO∽△GCH，得

CH

GH

=

CO

BO

=

1

2

，
即GH=2CH，
在Rt△CHG中，CG=

15

3

，GH=2CH，得CH=

3

3

，HG=

2 3

3

，
∴G（

2 3

3

，

3

3

+2）；

（3）方法一
如圖2：
在移動過程中，存在點A，使△AEF為直角三角形．
若△AEF為直角三角形
∵AE=AF
∴△AEF為等腰三角形，
∴∠AEF=∠AFE≠90°，
∴∠EAF=90°，
過A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中，EF=

AE2+AF2

=

( 5 )2+( 5 )2

=

10

，
AM=

1

2

EF=

1

2

10

，
證出△BOC∽△BMA得，

OC

AM

=

BC

AB

，
而BC=

OC2+OB2

=

22+42

=2

5

，OC=2，可得AB=

5 2

2

∴OA=4-

5 2

2

，
∴A（-4+

5 2

2

，0），
當圓心A在點B的左側時，設圓心為A′，
過A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，
∴A′B=AB=

5 2

2

，
∴OA′=OB+A′B=4+

5 2

2

，
∴A′（-4-

5 2

2

，0），
∴A（-4+

5 2

2

，0）或A′（-4-

5 2

2

，0）
方法二：
如圖3，
在移動過程中，存在點A，使△AEF為直角三角形
若△AEF為直角三角形
∵AE=AF
∴△AEF為等腰三角形
∴∠AEF=∠AFE≠90°
∴∠EAF=90°（11分）
過F作FM⊥x軸于M，EN⊥x軸于N，EH⊥MF于H
設AN=x，EN=y
由△AEN≌△FAM
可得AM=y，FM=x
FH=x-y
EH=x+y，由

FH

EH

=

OC

OB

=

2

4

=

1

2

，即

x-y

x+y

=

1

2

，
∴x=3y
在Rt△AEN中，
x²+y²=（

5

）²
x²+y²=5，
解得

x= 3 2 2 y= 2 2

，
又∵

EN

BN

=

OC

OB

=

2

4

=

1

2

，
∴BN=2y，BN=

2

，
∴AB=

3 2

2

+

2

=

5 2

2

，
∴OA=4-

5 2

2

，
∴A（-4+

5 2

2

，0），
以下同解法一，得A′（-4-

5 2

2

，0）．（16分）

點評：本題考查的是切線的性質及相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，待定系數法求一次函數的解析式，涉及面較廣，難度較大．