Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，B（5，0），M為等腰梯形OBCD底邊OB上一點，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60度．
（1）求點D，B所在直線的函數(shù)表達式；
（2）求點M的坐標；
（3）∠DMC繞點M順時針旋轉α（0°＜α＜30°后，得到∠D₁MC₁（點D₁，C₁依次與點D，C對應），射線MD₁交邊DC于點E，射線MC₁交邊CB于點F，設DE=m，BF=n．求m與n的函數(shù)關系式．

Answer 1

（1）過點D作DA⊥OB，垂足為A．
在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°，
∴DA=OD•sin∠DOB=

3

，
OA=OD•cos∠DOB=1，
∴點D的坐標為（1，

3

），
設直線DB的函數(shù)表達式為y=kx+b，
由B（5，0），D（1，

3

），得

0=5k+b 3 =k+b

，
解得

k=- 3 4 b= 5 4 3

，
∴直線DB的函數(shù)表達式為y=-

3

4

x+

5

4

3

；

（2）∵∠DMC=∠DOB=60°，
∴∠ODM+∠DMO=120°，∠DMO+∠CMB=120°，
∴∠ODM=∠CMB，
∵等腰梯形OBCD的∠DOB=∠CBO，
∴△ODM∽△BMC，
∴

OD

BM

=

OM

BC

=

DM

MC

，
∴OD•BC=BM•OM，
∵B點為（5，0），
∴OB=5．
設OM=x，則BM=5-x
∵OD=BC=2，
∴2×2=x（5-x），
解得x₁=1，x₂=4，
∴M點坐標為（1，0）或（4，0）；

（3）（Ⅰ）當M點坐標為（1，0）時，如圖1，
OM=1，BM=4．
∵DC∥OB，
∴∠MDE=∠DMO，
又∵∠DMO=∠MCB，
∴∠MDE=∠MCB，
∵∠DME=∠CMF=α，
∴△DME∽△CMF，
∴

DE

CF

=

DM

CM

=

OD

BM

=

2

4

=

1

2

，
∴CF=2DE，
∵CF=2-n，DE=m，
∴2-n=2m，即m=1-

n

2

；
（Ⅱ）當M點坐標為（4，0）時，如圖2
OM=4，BM=1．
同（Ⅰ），可得△DME∽△CMF，
∴

DE

CF

=

DM

CM

=

OD

BM

=

2

1

=2，
∴DE=2CF，
∵CF=2-n，DE=m，
∴m=2（2-n），即m=4-2n．
綜上所述，m與n的函數(shù)關系式為：m=1-

n

2

或m=4-2n．