Question

11．如圖，邊長為a的菱形ABCD的頂點D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，A、C兩點的坐標分別為（0，4）和（2，0）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接BD，交y軸于點P，求tan∠DBC的值和OP的長．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是菱形，可求得BC=AD=a，又由A、C兩點的坐標分別為（0，4）和（2，0），可得OB=a-2，OA=4，然后由在Rt△ABO中，OB²+OA²=AB²，求得a的值，繼而求得點D的坐標，即可求得答案；
（2）首先過點E作DE⊥x軸于點E，即可求得DE與BE的長，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AD=a，
∵A、C兩點的坐標分別為（0，4）和（2，0），
∴OB=a-2，OA=4，
在Rt△ABO中，OB²+OA²=AB²，
∴（a-2）²+4²=a²，
解得：a=5，
∴AD=5，
∴點D的坐標為：（5，4），
∴k=xy=5×4=20，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{20}{x}$；

（2）過點E作DE⊥x軸于點E，
則DE=4，OE=5，OB=a-2=3，
∴BE=OB+OE=5-2+5=8，
在Rt△DBE中，tan∠DBC=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$；
在Rt△BOP中，OP=OB•tan∠DBC=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

點評 此題考查了菱形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．注意求得a的值是解此題的關(guān)鍵．