Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)，交BC于E．

（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；

（2）求證：BC²=BD•BA；

（3）當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，求證：△ABC是等腰直角三角形．

Answer 1

證明：（1）如圖，連接OD．∵DE為切線(xiàn)，∴∠EDC+∠ODC=90°；

∵∠ACB=90°，∴∠ECD+∠OCD=90°．又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，

∴∠EDC=∠ECD，∴ED=EC；∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，

∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，∴∠B=∠BDE，∴ED=DB．

∴EB=EC，即點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)；

（2）∵AC為直徑，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠B=∠B

∴△ABC∽△CDB，∴，∴BC²=BD•BA；

（3）當(dāng)四邊形ODEC為正方形時(shí)，∠OCD=45°；∵AC為直徑，

∴∠ADC=90°，∴∠CAD=∠ADC﹣∠OCD=90°﹣45°=45°

∴Rt△ABC為等腰直角三角形．