Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于E，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)A為半徑的圓，交AB于D，交AC于C，且點(diǎn)E在⊙O上，連接DE，BF切⊙O于點(diǎn)F．
（1）求證：BE=BF；
（2）若⊙O的半徑為R，AG=R+1，CE=R-1，求弦AG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OE，證出OE⊥CD，再由切線長(zhǎng)定理易得BE=BF；
（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角得出∠AGD=90°，從而證得GD∥BC，進(jìn)而證得OE⊥GD，根據(jù)垂徑定理得出GH=DH，然后證得四邊形GCEH是矩形，從而證得GD=2（R-1）=2R-2，最后根據(jù)勾股定理求得R，即可求得AG的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接DG、OE，交于點(diǎn)H．
∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠CAE=∠DAE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠CAE=∠OEA，
∴AC∥OE，
∴∠OEB=∠C=90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是圓的切線，
∴BE=BF；

（2）解：∵AB是直徑，
∵∠AGD=90°，
∵∠C=90°，
∴GD∥BC，
∵OE⊥BC，
∴OE⊥GD，
∴GH=DH，
∵∠AGD=90°，∠C=90°，OE⊥BC，
∴四邊形GCEH是矩形，
∴GH=CE=R-1，
∴GD=2（R-1）=2R-2，
在直角三角形AGD中，AG²+GD²=AD²，
即（R+1）²+（2R-2）²=（2R）²
解得R₁=5，R₂=1（舍去），
∴AG=R+1=5+1=6；

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的判定、平行線的判定與性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形．