Question

（2012•臺州模擬）已知A、B、C、D點的坐標如圖所示，E在線段AC的延長線上，若△ABC和△ADE相似，則E點的坐標是

（4，-3）或（

16

13

，-

15

13

）

．

Answer 1

分析：根據點A、B、C、D的坐標求出AB、BC、AC、AD的長，然后分兩種情況：①當∠ADE=90°時，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式求出DE的長度，再結合圖形即可求出點E的坐標；②當∠AED=90°時，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求出AE的長度，過E作EF⊥AD于點F，解直角三角形求出AF、EF，然后結合圖形即可求出點E的坐標．

解答：解：由圖可知，A（-5，3）、B（1，3）、C（1，-1）、D（4，3），
∴AB=1-（-5）=6，BC=3-（-1）=4，
AC=

AB2+BC2

=

62+42

=2

13

，
AD=4-（-5）=9，
①如圖1，當∠ADE=90°時，∵△ABC∽△ADE，
∴

AB

AD

=

BC

DE

，
即

6

9

=

4

DE

，
解得DE=6，
∴點E的縱坐標為3-6=-3，
∴點E（4，-3）；
②如圖2，當∠AED=90°時，∵△ABC∽△AED，
∴

AB

AE

=

AC

AD

，
即

6

AE

=

2 13

9

，
解得AE=

27 13

13

，
過點E作EF⊥AD于點F，
則AF=AE•cos∠BAC=

27 13

13

×

6

2 13

=

81

13

，
EF=AE•sin∠BAC=

27 13

13

×

4

2 13

=

54

13

，
∵

81

13

-5=

16

13

，

54

13

-3=

15

13

，
∴點E（

16

13

，-

15

13

），
綜上所述，點E的坐標為（4，-3）或（

16

13

，-

15

13

）．
故答案為：（4，-3）或（

16

13

，-

15

13

）．

點評：本題考查了相似三角形的性質，坐標與圖形的性質，主要利用了相似三角形對應邊成比例的性質，注意要分情況討論．