Question

如圖，C是線段AB上一動點，分別以AC、BC為邊作等邊△ACD．等邊△BCE，連接AE、BD分別交CD、CE于M、N兩．

（1）求證：AE=BD；

（2）判斷直線MN與AB的位置關(guān)系；

（3）若AB=10，當點C在AB上運動時，是否存在一個位置使MN的長最大？若存在

請求出此時AC的長以及MN的長．若不存在請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵△ACD和△BCE均為等邊三角形

∴DC=AC，EC=BC   且∠DCB=∠ACE=120° 

∴△DCB≌△ACE      ∴AE=BD                

（2）MN//AB，理由如下：

由（1）可知△DCB≌△ACE

∴∠NBC=∠MEC   又∵CB=CE，∠NCB=∠MCE=60° 

∴△NCB≌△MCE    ∴CN=CM

又∵∠MCE=60°     ∴△CMN是等邊三角形

故有∠NMC=∠ACD=60°      ∴MN//AB                       

（3）設(shè)AC=x，MN=y，∵MN//AB  ∴                  

又∵CB=EC=10-x，CN=y，EN=10-x-y

  即

配方得

當x=5cm時線段MN有最大值2.5cm．