Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,m)，B(-3,n)為兩動(dòng)點(diǎn)，其中m﹥1，連結(jié)，，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)．

（1）求證：mn=6；

（2）當(dāng)時(shí)，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)且以軸為對(duì)稱軸，求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，問是否存在直線，使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2？若存在，求出直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解:（1）點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2,m)，(-3,n)，∴BC=n,OC=3,OD=2,AD=m，

又，易證，∴,

∴,

∴mn=6．

（2）由（1）得，，又，，

即∴，

又,∴,又∵mn=6, ∴

∴m=6(),n=1

坐標(biāo)為坐標(biāo)為，易得拋物線解析式為．

（3）直線為，且與軸交于點(diǎn)，

假設(shè)存在直線交拋物線于兩點(diǎn)，且使S_⊿POF:S_⊿QOF=1:2，如圖所示，

則有PF:FQ=1:2，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，

在拋物線上，設(shè)坐標(biāo)為，

則FM=，易證，∴,

∴QN=2PM=-2t,NF=2MF=，∴

點(diǎn)坐標(biāo)為,Q點(diǎn)在拋物線上，

，解得，

坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，

易得直線為．

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得直線的另解為．