Question

6．如圖，射線OC以∠AOB的邊OB為始邊進(jìn)行逆時針旋轉(zhuǎn)，作OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，在射線OC旋轉(zhuǎn)過程中，試探究∠DOE與∠BOC的大小關(guān)系．
（1）當(dāng)∠AOB=90°，∠BOC=60°時，則∠DOE=45度．
（2）設(shè)∠AOB=90°，∠BOC=n．
①當(dāng)0＜n＜90°時，在射線OC旋轉(zhuǎn)過程中，∠DOE的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，請求出∠DOE的度數(shù)；
②當(dāng)90°＜n＜360°時，在射線OC旋轉(zhuǎn)過程中，∠DOE的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，請求出∠DOE的度數(shù)；
（3）設(shè)∠AOB=a，∠BOC=n，其中0＜a＜180°，在射線OC旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出∠DOE的度數(shù)（可用含有a，n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義，OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，則可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE=∠COE+∠COD；
（2）①結(jié)合角的特點(diǎn)，∠DOE=∠DOC+∠COE，求得結(jié)果進(jìn)行判斷和計算；②分三種情況討論：當(dāng)90°＜n≤180°時，當(dāng)180°＜n≤270°時，當(dāng)270°＜n＜360°，分別求得∠DOE的度數(shù)；
（3）根據(jù)（2）中方法進(jìn)行分類討論，即可得出∠DOE的度數(shù)．

解答 解：（1）∵OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠COB=30°，∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=15°，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=45°；
故答案為：45°；

（2）①∠DOE的大小不變，等于45°，
理由：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE
=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC
=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）
=$\frac{1}{2}$∠AOB
=$\frac{1}{2}$×90°
=45°；
②分三種情況：
當(dāng)90°＜n≤180°時，∠DOE的大小不變，等于45°，
理由：如圖所示，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COE-∠DOC
=$\frac{1}{2}$∠BOC-$\frac{1}{2}$∠AOC
=$\frac{1}{2}$（∠BOC-∠AOC）
=$\frac{1}{2}$∠AOB
=$\frac{1}{2}$×90°
=45°；
當(dāng)180°＜n≤270°時，∠DOE的大小不變，等于135°，
理由：如圖所示，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠COE+∠DOC
=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC
=$\frac{1}{2}$（∠BOC+∠AOC）
=$\frac{1}{2}$（360°-∠AOB）
=$\frac{1}{2}$×270°
=135°；
當(dāng)270°＜n＜360°時，∠DOE的大小不變，等于45°，
理由：如圖所示，∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOE=∠DOC-∠COE
=$\frac{1}{2}$∠AOC-$\frac{1}{2}$∠BOC
=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠BOC）
=$\frac{1}{2}$∠AOB
=$\frac{1}{2}$×90°
=45°；

（3）在射線OC旋轉(zhuǎn)過程中，∠DOE的度數(shù)為$\frac{1}{2}$a或180°-$\frac{1}{2}$a．
理由：當(dāng)0＜n≤180°時，∠DOE=$\frac{1}{2}$a；
當(dāng)180°＜n≤180°+a時，∠DOE=180°-$\frac{1}{2}$a；
當(dāng)180°+a＜n＜360°時，∠DOE=$\frac{1}{2}$a；
綜上所述，∠DOE的度數(shù)為$\frac{1}{2}$a或180°-$\frac{1}{2}$a．

點(diǎn)評 本題主要考查了角的和差關(guān)系的運(yùn)用以及角平分線的定義的運(yùn)用，即從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．解決問題的關(guān)鍵是畫出圖形進(jìn)行分類討論，分類時注意不能遺漏，也不能重復(fù)．