Question

9．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點P是BC邊上的一個動點（點P不與點B、C重合），現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊，使點C落在點C’處，作么BPC'的角平分線交AB于點E．設(shè)BP=x，BE=y，給出如下結(jié)論：
①∠BPC=∠CDC'；
②y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x；
③當(dāng)點P為BC的中點時，△BPE為等腰直角三角形；
④當(dāng)y取最值時，△DCP的面積是矩形ABCD面積的$\frac{1}{4}$．
其中正確結(jié)論的序號是①②④．（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）

Answer 1

分析 連接DE，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠CPD=∠C′PD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BPE=∠C′PE，然后證明∠DPE=90°，從而得到△DPE是直角三角形，再分別表示出AE、CP的長度，然后利用勾股定理進(jìn)行列式整理即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，即可得解．

解答 解：如圖，連接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折疊得到，
∴∠C′=∠C=90°，∠CPD=∠C′PD，
∴∠CDC′+∠CPC′=∠CPC′+∠BPC′=180°，
∠BPC′=∠CDC'；故①正確；
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE=∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP=x，BE=y，AB=3，BC=5，
∴AE=AB-BE=3-y，CP=BC-BP=5-x，
在Rt△BEP中，PE²=BP²+BE²=x²+y²，
在Rt△ADE中，DE²=AE²+AD²=（3-y）²+5²，
在Rt△PCD中，PD²=PC²+CD²=（5-x）²+3²，
在Rt△PDE中，DE²=PE²+PD²，
則（3-y）²+5²=x²+y²+（5-x）²+3²，
整理得，-6y=2x²-10x，
所以y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x（0＜x＜5），故②正確；
∵∠BPE=∠C′PE，∠CPD=∠C′PD，
∴∠BPE+∠CPD=90°，
∵點P為BC的中點，
∴CP=$\frac{5}{2}$，∵CD=AB=3，
∴CP≠CD，
∴∠CPD≠45°，
∴∠BPE≠45°，
∴△BPE不是等腰直角三角形，故③錯誤；
∵y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x=-$\frac{1}{3}$（x-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{12}$，
∴x=$\frac{5}{2}$時．y取最大值，
∴PB=$\frac{5}{2}$，
∴PC=$\frac{5}{2}$，
∴△DCP的面積=$\frac{1}{2}×$$\frac{5}{2}$×4=5，矩形ABCD面積=4×5=20，
∴△DCP的面積是矩形ABCD面積的$\frac{1}{4}$．故④正確；
故答案為：①②④．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線并證明得到直角三角形，熟練正確折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．