Question

20．如圖1，在正方形ABCD中，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的∠MAN=45°，其中AM交DC于E，AN交BC于F．
（1）求證：BF+DE=EF；
（2）如圖2，將∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使AM交DC的延長(zhǎng)線于E，AN交CB的延長(zhǎng)線于F，請(qǐng)?zhí)剿鰾F、DE、EF的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）從結(jié)論的結(jié)構(gòu)上看，證明的是線段的和差關(guān)系，需要截長(zhǎng)補(bǔ)短，又根據(jù)90度夾45度的已知條件，不難度想到將三角形ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至ABG，再證明三角形AGF與三角形AEF全等即可；
（2）同（1）類似，只不過此時(shí)DE最長(zhǎng)，只需將三角形ABF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至ADG，然后證明三角形AFE與三角形AGE全等即可．

解答 （1）證明：將△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至△ABG，如圖1，

則AG=AE，∠GAB=∠EAD，BG=DE
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠EAD=45°，
∴∠GAB+∠BAF=45°，
∴∠GAF=∠EAF，
在△GAF和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴EF=GF=BG+BF=DE+BF；
（2）解：將△ABF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至△ADG，如圖2，

則AG=AF，DG=BF，∠FAB=∠GAD，
∵∠FAB+∠FAE=∠EAF=45°，
∴∠GAD+∠BAE=45°，
∴∠GAE=45°，
在△FAE和△GAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AG}\\{∠FAE=∠GAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△GAE（SAS），
∴EF=GE，
∴DE=DG+GE=BF+EF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用，難度中等．值得注意的是，本題出現(xiàn)的90度夾45度模型是高頻考點(diǎn)，務(wù)必掌握其處理技巧和證明方法．