Question

10．已知：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且AE=CF．
求證：（1）DE=DF；
（2）DE⊥DF．

Answer 1

分析 （1）首先可判斷△ABC是等腰直角三角形，連接CD，根據(jù)全等三角形的判定易得到△ADE≌△CDF，即可；
（2）利用（1）的結(jié)論，可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖，連接CD．
∵BC=AC，∠BCA=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D為AB中點(diǎn)，
∴BD=CD，CD平分∠BCA，CD⊥AB．
∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠FCD=90°，
∴∠A=∠FCD，
在△ADE和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠FCD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFD（SAS），
∴DE=DF
（2）由（1）知，△ADE≌△CFD（SAS），
∴∠ADE=∠CDF．
∴∠ADE=∠CDF．
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，
即DE⊥DF

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出證明全等需要的條件，難度一般．