Question

（2007•東城區(qū)二模）已知拋物線C₁如圖1所示，現(xiàn)將C₁以y軸為對稱軸進行翻折，得到新的拋物線C₂．
（1）求拋物線C₂的解析式；
（2）在圖1中，將△OAC補成矩形，使△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，請直接（不需要寫過程）寫出矩形的周長；
（3）如圖2，若拋物線C₁的頂點為M，點P為線段BM上一動點（不與點M、B重合），PN⊥x軸于N，請求出PC+PN的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據圖象求出點A、B關于y軸的對稱點，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）分①AO、CO為一邊時，矩形的長與寬分別是CO、AO，然后根據矩形的周長公式列式計算即可得解，②AC為一邊時，先根據勾股定理求出AC的長度，再利用三角形的面積求出點O到AC的長度，即為矩形的寬，然后根據矩形的周長公式列式計算即可得解；
（3）作點C關于直線BM的對稱點C′，過C′作C′N⊥x軸交BM于點P，此時PC+PN最小，然后對稱性求出拋物線C₁的解析式，再求出點M的坐標，然后利用待定系數(shù)法求直線解析式求出BM的解析式，再根據互相相垂直的直線的解析式的k值互為負倒數(shù)求出直線CC′的解析式，與直線BM的解析式聯(lián)立求出交點坐標，然后根據中點坐標公式求出點C′的縱坐標，絕對值即為PC+PN的最小值．

解答：解：（1）根據圖形，點A、B關于y軸的對稱點分別為（1，0）（-2，0），點C的坐標為（0，-2），
設拋物線C₂的解析式為y=ax²+bx+c，
則

a+b+c=0 4a-2b+c=0 c=-2

，
解得

a=1 b=1 c=-2

，
所以，拋物線C₂的解析式為y=x²+x-2；

（2）①AO、CO為一邊時，都是以CO、AO為長與寬的矩形，
∵A（-1，0）C（0，-2），
∴AO=1，CO=2，
∴周長為：2（1+2）=2×3=6，
②AC為一邊時，根據勾股定理，AC=

AO2+CO2

=

12+22

=

5

，
根據三角形的面積，設點O到AC的距離為h，則

1

2

×

5

•h=

1

2

×1×2，
解得h=

2 5

5

，
所以，周長為2（

5

+

2 5

5

）=

14 5

5

；

（3）根據軸對稱與最短距離問題，作點C關于直線BM的對稱點C′，過C′作C′N⊥x軸交BM于點P，此時PC+PN最小，
根據對稱性，拋物線C₁的解析式為y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
所以，頂點M的坐標為（

1

2

，-

9

4

），
設直線BM的解析式為y=kx+b，
則

1 2 k+b=- 9 4 2k+b=0

，
解得

k= 3 2 k=-3

，
所以，直線BM的解析式為y=

3

2

x-3，
∵直線CC′與直線BM垂直，且經過點C（0，-2），
∴直線CC′的解析式為y=-

2

3

x-2，
聯(lián)立

y= 3 2 x-3 y=- 2 3 x-2

，
解得

x= 6 13 y=- 30 13

，
∴交點坐標，即CC′的中點坐標為（

6

13

，-

30

13

），
根據中點坐標，C′的縱坐標為2×（-

30

13

）-（-2）=-

60

13

+2=-

34

13

，
∵|-

34

13

|=

34

13

，
∴PC+PN的最小值為

34

13

．

點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，矩形的性質，利用軸對稱求最短距離，以及中點坐標公式，（3）中利用互相垂直的直線的解析式的k值互為負倒數(shù)求出CC′的直線是解題的關鍵，也是本題的難點．