Question

設(shè)m，n為整數(shù)，則方程x²+10mx+5n+3=0和方程x²+10mx+5n-3=0必定（ ）
A．至少有一個(gè)有整數(shù)根
B．均無整數(shù)根
C．僅有一個(gè)有整數(shù)根
D．均有整數(shù)根

Answer 1

【答案】分析：先計(jì)算兩個(gè)方程的根的判別式△_1，2=4[5（5m²-n）±3]，而5（5m²-n）的個(gè)位數(shù)字只能是0或5，得到4[5（5m²-n）±3]的個(gè)位數(shù)字只能是2或8；而任何一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9之一，因此當(dāng)m，n為整數(shù)時(shí)，4[25（m²-n）±3]都不是完全平方數(shù)，于是，這兩個(gè)方程均無有理根，當(dāng)然兩個(gè)方程均無整數(shù)根．
解答：解：∵△_1，2=4[5（5m²-n）±3]，
而5（5m²-n）的個(gè)位數(shù)字只能是0或5．
∴4[5（5m²-n）±3]的個(gè)位數(shù)字只能是2或8；
而任何一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9之一，
∴當(dāng)m，n為整數(shù)時(shí)，4[5（5m²-n）±3]都不是完全平方數(shù)，于是，這兩個(gè)方程均無有理根，
所以兩個(gè)方程均無整數(shù)根，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程有有理根的條件：△=b²-4ac為完全平方數(shù)．也考查了完全平方數(shù)末位數(shù)的特點(diǎn)．