Question

如圖，P為Rt△ABC斜邊AB的中點，過P作PQ∥AC，且PQ=AC．證明：△APQ是等腰三角形．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質,直角三角形斜邊上的中線

專題：證明題

分析：根據直角三角形斜邊上中線性質求出AP=CP，推出∠ACP=∠CAP，根據平行四邊形的性質和判定推出∠Q=∠ACP，求出∠QPA=∠CAP，推出∠Q=∠APQ即可．

解答：證明：連接CP，
∵PQ∥AC，且PQ=AC，
∴四邊形ACPQ是平行四邊形，
∴∠ACP=∠Q，
∵∠ACB=90°，P為AB中點，
∴AP=CP，
∴∠CAP=∠ACP，
∵AC∥PQ，
∴∠CAP=∠QPA，
∴∠Q=∠QPA，
∴AQ=AP，
∴△APQ是等腰三角形．

點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定，平行線的性質，直角三角形斜邊上中線性質的應用，主要考查學生的推理能力，題目比較好，難度適中．