Question

如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線、、、上，這四條直線中相鄰

兩條之間的距離依次為、、（＞0，＞0，＞0）．

（1）求證：=；

（2）設正方形ABCD的面積為S，求證：S=；

（3）若，當變化時，說明正方形ABCD的面積S隨的變化情況．

Answer 1

（1）過A點作AF⊥l₃分別交l₂、l₃于點E、F，

過C點作CG⊥l₃交l₃于點G，

∵l₂∥l₃，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，

∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，

∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即=；   （3分）

（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，

又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，

∴DF=CG，∵AD²=AF²+FD²，∴S=；   （3分）

 (3)由題意，得， 所以  ，（2分）

又，解得0＜h₁＜     ∴當0＜h₁＜時，S隨h₁的增大而減�。�

  當h₁=時，S取得最小值；   當＜h₁＜時，S隨h₁的增大而增大.（2分）