Question

如圖所示，二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），另一個(gè)交點(diǎn)為B，且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求m的值；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；                                     
（3）該二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P（x，y）（其中x＞0，y＞0），使△ACP的面積最大？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A（3，0）代入y=-x²+2x+m，求解即可，
（2）令0=-x²+2x+3，解得x的值，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，
（3）當(dāng)直線平行于直線CA，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△ACP的面積最大，列出點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的直線y=-x+b，結(jié)合拋物線利用△求出b，再聯(lián)立即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），
∴把A（3，0）代入y=-x²+2x+m，解得m=3，
（2）∵二次函數(shù)解析式為y=-x²+2x+3，
∴令0=-x²+2x+3，解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0），
（3）存在
理由如下：
當(dāng)直線平行于直線CA，且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△ACP的面積最大，
∵直線CA的解析式為：y=-x+3，
∴設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的直線為y=-x+b，
∴-x+b=-x²+2x+3，化簡(jiǎn)得x²-3x+b-3=0，△=9-4（b-3）=0，解得b=

21

4

，
聯(lián)立得

y=-x+ 21 4 y=-x2+2x+3

，解得

x= 3 2 y= 15 4

，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

，

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用△求出b的值．