Question

9．在△ABC中，AB=AC，點D，點E在邊BC上不同的兩點，且∠ADE=75°．
（1）如圖1，若∠BAC=90°，CD=$\sqrt{2}$，求BC的長；
（2）如圖2，若∠BAC=90°，∠EAD=45°，求證：DC=$\sqrt{3}$BE；
（3）如圖3，若∠BAC=120°，∠EAD=60°，請問（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作DG⊥AC于G，證明出△ABC是等腰直角三角形，進而求出AG的長，即可求出BC的長；
（2）作DH⊥AE于H，設(shè)DC=a，利用a表示出BC、DE和CD的長，根據(jù)線段之間的關(guān)系得到結(jié)論；
（3）作DG⊥AC于G，AH⊥BC于H，設(shè)DC=2a，還是利用a表示出BC、DE和CD的長，即可表示出線段DC和BE之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）如圖1所示，作DG⊥AC于G，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠1=∠B=45°，
∵∠ADE=75°，
∴∠2=60°，∠DAG=30°，
∴DG=CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=1，AD=2DG=2，
∴AG=$\sqrt{A{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=AG+CG=$\sqrt{3}$+1，
∴BC=$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$；
（2）如圖2所示，作DH⊥AE于H，設(shè)DC=a，則DG=CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴AD=2DG=$\sqrt{2}$a，AG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∴AC=AG+CG=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$a，
∴BC=$\sqrt{2}$AC=（$\sqrt{3}$+1）a，
∵∠EAD=45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH=DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=a，
∵∠4=180°-∠ADE-∠DAE=60°，
∴DE=2EH，
∴DE=DH÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴BE=BC-DE-CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DC，
∴DC=$\sqrt{3}$BE；
（3）（2）中的結(jié)論不成立，理由如下：
如圖3所示，作DG⊥AC于G，AH⊥BC于H，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠ADE=75°，∠DAE=60°，
∴∠2=∠3=∠4=∠5=45°，
設(shè)DC=2a，則DG=AG=a，CG=$\sqrt{3}$a，
∴AC=AG+CG=（$\sqrt{3}$+1）a，
∴EH=AH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$a，CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$a，
∴BC=2CH=（3+$\sqrt{3}$）a，DH=CH-DC=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$a，
∴DE=EH+DH=$\sqrt{3}$a，
∴BE=BC-DE-DC=（3+$\sqrt{3}$）a-$\sqrt{3}$a-2a=a=$\frac{1}{2}$DC，
∴DC=2BE．

點評 本題主要考查相似形綜合題，此題涉及到勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造特殊的直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理解決線段的長度，此題有一定的難度．