Question

【題目】如圖，是正方形的邊上的動點，是邊延長線上的一點，且，，設，.

（1）當是等邊三角形時，求的長；

（2）求與的函數解析式，并寫出它的定義域；

（3）把沿著直線翻折，點落在點處，試探索：能否為等腰三角形？如果能，請求出的長；如果不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）答案見解析.

【解析】

（1）當△BEF是等邊三角形時，有∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，則可解Rt△ABE，求得BF即BE的長．

（2）作EG⊥BF，垂足為點G，則四邊形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF2=（BF-BG）2+EG2．即y2=（y-x）2+122．故可求得y與x的關系．

（3）當把△ABE沿著直線BE翻折，點A落在點A'處，應有∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°，若△A'BF成為等腰三角形，必須使A'B=A'F=AB=12，有FA′=EF-A′E=y-x=12，故可由（2）得到的y與x的關系式建立方程組求得AE的值．

解：（1）當是等邊三角形時，，

∵，

∴，

∴；

（2）作，垂足為點，

根據題意，得，，.

∴.

∴所求的函數解析式為；

（3）∵，

∴點落在上，

∴，，

∴要使成為等腰三角形，必須使.

而，，

∴，由（2）關系式可得：，

整理得，

解得，

經檢驗：都原方程的根，

但不符合題意，舍去，

所以當時，為等要三角形.