Question

【題目】（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）如圖1，半圓O的直徑AB＝10，點(diǎn)P是半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PAB的面積最大值是 ；

（問(wèn)題探究）如圖2所示，AB、AC、是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，所對(duì)的圓心角為60°．新區(qū)管委會(huì)想在路邊建物資總站點(diǎn)P，在AB、AC路邊分別建物資分站點(diǎn)E、F，即分別在、線段AB和AC上選取點(diǎn)P、E、F．由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點(diǎn)間按P→E→F→P的路徑進(jìn)行運(yùn)輸，因此，要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE、EF和FP．顯然，為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本，就要使線段PE、EF、FP之和最短（各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì)）．可求得△PEF周長(zhǎng)的最小值為 km；

（拓展應(yīng)用）如圖3是某街心花園的一角，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在圍墻OA和OB上分別有兩個(gè)入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中點(diǎn)，出口E在上．現(xiàn)準(zhǔn)備沿CE、DE從入口到出口鋪設(shè)兩條景觀小路，在四邊形CODE內(nèi)種花，在剩余區(qū)域種草．

①出口E設(shè)在距直線OB多遠(yuǎn)處可以使四邊形CODE的面積最大？最大面積是多少？(小路寬度不計(jì))

②已知鋪設(shè)小路CE所用的普通石材每米的造價(jià)是200元，鋪設(shè)小路DE所用的景觀石材每米的造價(jià)是400元．

請(qǐng)問(wèn)：在上是否存在點(diǎn)E，使鋪設(shè)小路CE和DE的總造價(jià)最低？若存在，求出最低總造價(jià)和出口E距直線OB的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】[問(wèn)題發(fā)現(xiàn)] 25；[問(wèn)題探究] ；[拓展應(yīng)用] ①出口E設(shè)在距直線OB的7.2米處可以使四邊形CODE的面積最大為60平方米，②出口E距直線OB的距離為米.

【解析】

[問(wèn)題發(fā)現(xiàn)]△PAB的底邊AB一定,面積最大也就是P點(diǎn)到AB的距離最大,故當(dāng)OP⊥AB時(shí),時(shí)最大，值是5，再計(jì)算此時(shí)△PAB面積即可；

[問(wèn)題探究]先由對(duì)稱將折線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng)，即分別以、所在直線為對(duì)稱軸，作出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，易求得：，而，即當(dāng)最小時(shí)，可取得最小值．

[拓展應(yīng)用]①四邊形CODE面積=S△CDO＋S△CDE′，求出S△CDE′面積最大時(shí)即可；

②先利用相似三角形將費(fèi)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為CE＋2DE＝CE＋QE，求CE＋QE的最小值問(wèn)題．然后利用相似三角形性質(zhì)和勾股定理求解即可。

[問(wèn)題發(fā)現(xiàn)]解：當(dāng)OP⊥AB時(shí),時(shí)最大，，此時(shí)△APB的面積=，

故答案為：25；

[問(wèn)題探究]解：如圖2-1，連接，,分別以、所在直線為對(duì)稱軸，作出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、，

，

，，

，

、、在以為圓心，為半徑的圓上，

設(shè)，

易求得：，

，，

，

當(dāng)最小時(shí)，可取得最小值，

，

，即點(diǎn)在上時(shí)，可取得最小值，如圖2-2，

如圖2-3，設(shè)的中點(diǎn)為，

，

，

，

，

，

由勾股定理可知：，

，，

是等邊三角形，

，

由勾股定理可知：，

，

，

的最小值為．

故答案為：

[拓展應(yīng)用]①如圖，作OG⊥CD，垂足為G，延長(zhǎng)OG交于點(diǎn)E′，則此時(shí)△CDE的面積最大．

∵OA＝OB＝12，AC＝4，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，∴OC＝8，OD＝6，

在Rt△COD中，CD＝10，OG＝4.8，∴GE′＝12－4.8＝7.2，

∴四邊形CODE面積的最大值為S△CDO＋S△CDE′＝×6×8＋×10×7.2＝60，

作E′H⊥OB，垂足為H，則E′H＝OE′＝×12＝7.2．

答：出口E設(shè)在距直線OB的7.2米處可以使四邊形CODE的面積最大為60平方米．

②鋪設(shè)小路CE和DE的總造價(jià)為200CE＋400DE＝200（CE＋2DE）．

如圖，連接OE，延長(zhǎng)OB到點(diǎn)Q，使BQ＝OB＝12，連接EQ．

在△EOD與△QOE中，∠EOD＝∠QOE，且，

∴△EOD∽△QOE，故QE＝2DE．

于是CE＋2DE＝CE＋QE，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求CE＋QE的最小值．

連接CQ，交于點(diǎn)E′，此時(shí)CE＋QE取得最小值為CQ，

在Rt△COQ中，CO＝8，OQ＝24，∴CQ＝8，故總造價(jià)的最小值為1600．

作E′H⊥OB，垂足為H，連接OE′，設(shè)E′H＝x，則QH＝3x，

在Rt△E′OH中，，

解得（舍去），

∴出口E距直線OB的距離為米．