Question

18．邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接得到一個正六邊形，記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點順次連接，又得到一個等邊三角形，記為第2個等邊三角形，取其各邊的三等分點，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形（如圖）…，按此方式依次操作，則第7個正六邊形的邊長是$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）⁶a．

Answer 1

分析 連接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根據(jù)HL證兩三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，過F作FZ⊥GI，過E作EN⊥GI于N，得出平行四邊形FZNE得出EF=ZN=$\frac{1}{3}$a，求出GI的長，求出第一個正六邊形的邊長是$\frac{1}{3}$a，是等邊三角形QKM的邊長的$\frac{1}{3}$；同理第二個正六邊形的邊長是等邊三角形GHI的邊長的$\frac{1}{3}$；求出第五個等邊三角形的邊長，乘以$\frac{1}{3}$即可得出第六個正六邊形的邊長，同理可得出第七個正六邊形的邊長．

解答 解：如圖1，連接AD、DF、DB．
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}AF=AB\\ AD=AD\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD=∠FAD=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分別為AF、DE中點，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，△QKM是等邊三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等邊三角形QKM的邊長是a，
∴第一個正六邊形ABCDEF的邊長是$\frac{1}{3}$a，即等邊三角形QKM的邊長的$\frac{1}{3}$，
如圖2，過F作FZ⊥GI于Z，過E作EN⊥GI于N，
則FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四邊形FZNE是平行四邊形，
∴EF=ZN=$\frac{1}{3}$a，
∵GF=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$a=$\frac{1}{6}$a，∠FGI=60°（已證），
∴∠GFZ=30°，
∴GZ=$\frac{1}{2}$GF=$\frac{1}{12}$a，
同理IN=$\frac{1}{12}$a，
∴GI=$\frac{1}{12}$a+$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{12}$a=$\frac{1}{2}$a，即第二個等邊三角形的邊長是$\frac{1}{2}$a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第二個正六邊形的邊長是$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a；
同理第第三個等邊三角形的邊長是$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第三個正六邊形的邊長是$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a；
同理第四個等邊三角形的邊長是（$\frac{1}{2}$）³a，第四個正六邊形的邊長是$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）³a；
第五個等邊三角形的邊長是（$\frac{1}{2}$）⁴a，第五個正六邊形的邊長是$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）³a；
…
第n個正六邊形的邊長是$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）^n-1a，
∴第七個正六邊形的邊長是$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）⁶a．
故答案為：$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$）⁶a．

點評 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，能總結(jié)出規(guī)律是解此題的關鍵，題目具有一定的規(guī)律性，是一道有一定難度的題目．