Question

6．某工廠生產(chǎn)一種合金薄板（其厚度忽略不計）這些薄板的形狀均為正方形，邊長（單位：cm）在5～50之間，每張薄板的成本價（單位：元）與它的面積（單位：cm²）成正比例，每張薄板的出廠價（單位：元）由基礎(chǔ)價和浮動價兩部分組成，（即出廠價=基礎(chǔ)價+浮動價）其中基礎(chǔ)價與薄板的大小無關(guān)，是固定不變的，浮動價與薄板的邊長x成正比例，在營銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù)，已知出廠一張邊長為40cm的薄板，獲得利潤是26元．（利潤=出廠價-成本價）

薄板的邊長（cm）	20	30
出廠價（元/張）	50	70

（1）求一張薄板的出廠價y與邊長x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求一張薄板的利潤p與邊長x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若一張薄板的利潤是34元，且成本最低，此時薄板的邊長為多少？當(dāng)薄板的邊長為多少時，所獲利潤最大，求出這個最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）首先假設(shè)一張薄板的利潤為p元，它的成本價為mx²元，由題意，得：W=y-mx²，進而得出m的值，求出函數(shù)解析式即可；
（3）利用二次函數(shù)的最值公式求出二次函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）設(shè)一張薄板的邊長為x cm，它的出廠價為y元，基礎(chǔ)價為n元，浮動價為kx元，
則y=kx+n
由表格中數(shù)據(jù)得$\left\{\begin{array}{l}0=3k+n\\ 4=k+n\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ n=6\end{array}\right.$∴，
y=2x+10；

（2）設(shè)它的成本價為mx²元，由題意，得：
p=y-mx²=2x+10-mx²，
將x=40，p=26代入p=2x+10-mx²中，
得26=2×40+10-m×40²．
解得：m=$\frac{1}{25}$．
所以p=-$\frac{1}{25}$x²+2x+10．

（3）當(dāng)P=34時，-$\frac{1}{25}$x²+2x+10=34，
解得：x₁=20，x₂=30（舍去），
所以一張薄板的利潤是34元，且成本最低時薄板的邊長為20cm；
∵p=-$\frac{1}{25}$x²+2x+10=-$\frac{1}{25}$（x-25）²+35，
∴當(dāng)薄板的邊長為25cm時，所獲利潤最大，最大值35元．

點評 本題考查了二次函數(shù)的最值求法以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最大（�。┲涤腥�種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．