Question

一條拋物線y=x²+mx+n經(jīng)過點（0，3）與（4，3）．
（1）求這條拋物線的解析式，并寫出它的頂點坐標(biāo)；
（2）現(xiàn)有一半徑為1，圓心P在拋物線上運動的動圓，當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸相切時，求圓心P的坐標(biāo)；
（3）⊙P能與兩坐標(biāo)軸都相切嗎？如果不能，試通過上下平移拋物線y=x²+mx+n，使⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切．（要說明平移方法）

Answer 1

解：（1）∵拋物線過（0，3）（4，3）兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式是y=x²﹣4x+3，頂點坐標(biāo)為（2，﹣1）；
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
當(dāng)⊙P與y軸相切時，有|x₀|=1，
∴x₀=±1．
當(dāng)x₀=1時，y₀=1²﹣4+3=0；
當(dāng)x₀=﹣1，y₀=（﹣1）²﹣4（﹣1）+3=8．
此時，點P的坐標(biāo)為P₁（1，0），P₂（﹣1，8）；
當(dāng)⊙P與x軸相切時，有|y₀|=1，
∴y₀=±1．
當(dāng)y₀=1時，x₀²﹣4x₀+3=1，
解得：x₀=2±；
當(dāng)y₀=﹣1時，x₀²﹣4x₀+3=﹣1，
解得：x₀=2．
此時，點P的坐標(biāo)為P₃（2﹣，1），P₄（2+，1），P₅（2，﹣1）．
綜上所述，圓心P的坐標(biāo)為：
P₁（1，0），P₂（﹣1，8），P₃（2﹣，1），P₄（2+，1），P₅（2，﹣1）；
（3）由（2）知，不能．
設(shè)拋物線y=x²﹣4x+3上下平移后的解析式為：y=（x﹣2）²﹣1+h，
若⊙P能與兩坐標(biāo)軸都相切，則|x₀|=|y₀|=1，
即x₀=y₀=1；或x₀=y₀=﹣1；或x₀=1，y₀=﹣1；或x₀=﹣1，y₀=1．
取x₀=y₀=1，代入y=（x﹣2）²﹣1+h，得h=1；
取x₀=﹣1，y₀=﹣1，代入y=（x﹣2）²﹣1+h，得h=﹣9；
取x₀=1，y₀=﹣1，代入y=（x﹣2）²﹣1+h，得h=﹣1；
取x₀=﹣1，y₀=1，代入y=（x﹣2）²﹣1+h，得h=﹣7．
∴將y=x²﹣4x+3向上平移1個單位，或向下平移9個單位，或向下平移1個單位，或向下平移7個單位，就可使⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切．