Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+e與x軸交于點A（﹣3，0）、點B（9，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接AD、DB，點P為線段AD上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，過點P作BD的平行線，交AB于點Q，連接DQ，設(shè)AQ=m，△PDQ的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，以及S的最大值；

（3）如圖2，拋物線對稱軸與x軸交與點G，E為OG的中點，F(xiàn)為點C關(guān)于DG對稱的對稱點，過點P分別作直線EF、DG的垂線，垂足為M、N，連接MN，直接寫出△PMN為等腰三角形時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=﹣ ，拋物線與x軸交與點A（﹣3，0），點B（9，0），

∴可以假設(shè)拋物線解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣9）=﹣ x2+ x+6，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+6

（2）解：∵y=﹣ x2+ x+6=﹣ （x﹣3）2+8，

∴頂點D坐標（3，8），

∵AD=DB=10，

∴∠DAB=∠DBA，

∵PQ∥BD，

∴∠PQA=∠DBA，

∴∠PAQ=∠PQA，

∴PA=PQ，

∴△PAQ為等腰三角形，

作PH⊥AQ于H，則AH=HQ= （如圖1中），

∴tan∠DAB= = ，

∴PH= m，

∴S=S△ADQ﹣S△APQ= m8﹣ m m=﹣ m2+4m=﹣ （m﹣6）2+12，

∴當m=6時，S最大值=12

（3）解：∵E（ ，0），F(xiàn)（6，6），

∴直線EF解析式為y= x﹣2，直線AD解析式為y= x+4，

∴EF∥AD，作EL⊥AD于L，（如圖2中）

∵AE= ，sin∠DAB= ，

∴LE= × = =PM，

①PM=PN= 時，

∴xP=3﹣ =﹣ ，yP=﹣ × +4= ，

∴P（﹣ ， ），

∴直線PM解析式為y=﹣ x+ ，

由 ，解得 ，

∴點M（ ， ）

∴EM= = ．

②NP=NM時，設(shè)直線EF與對稱軸交于點K，K（3，2），

此時點N在PM的垂直平分線上，DN=NK，

∴N（3，5），P（ ，5），

∴直線PM的解析式為y=﹣ x+ ，

由 ，解得 ，

∴M（ ， ），

∴EM= = ，

③PM=MN時，cos∠MPN= = ，

∴PN= ，由此可得P（﹣ ， ），

∴直線PM解析式為y=﹣ x﹣ ，

由 解得 ，

∴M（ ，﹣ ），

∴EM= = ．

綜上所述，EM= 或 或 ．

【解析】(1)可以設(shè)出拋物線的解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣9）展開即可；（2）作PH⊥AQ于H，則AH=HQ= 根據(jù) S=S△ADQ﹣S△APQ建立二次函數(shù)；利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果；（3） 分三種情況討論①PM=PN，②NP=NM，③PM=MN分別求出直線PM的解析式,利用方程組就出M點的坐標可解決問題。
【考點精析】認真審題，首先需要了解解二元一次方程組(二元一次方程組：①代入消元法；②加減消元法)，還要掌握二次函數(shù)的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．