Question

如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，DE與AF交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在線段DE上，且AQ∥PC，求梯形APCQ的面積與平行四邊形ABCD的面積的比值．

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換

專題：

分析：首先連接EF，BP，AC，DF，設(shè)S_?ABCD=a，由E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，易求得S_△ADE=S_△ABF=

a

4

，繼而可得EP：PD=1：4，然后設(shè)S_△AEP=x，則S_△ADP=4x，由S_△APD=S_{四邊形BEPF}，可得

a

4

-x=4x，即可求得△AEP與△APD的面積，又由AQ∥PC，繼而求得各部分的面積，即可求得答案．

解答：解：連接EF，BP，AC，DF，
設(shè)S_?ABCD=a，
∵E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB、BC的中點(diǎn)，
∴S_△ADE=S_△ABF=

a

4

，
∴S_△APD=S_{四邊形BEPF}，
∵S_△AEF=

a

8

，S_△ADF=

a

2

，
∴

EP

PD

=

a 8

a 2

=

1

4

，
設(shè)S_△AEP=x，則S_△ADP=4x，
∵S_△APD=S_{四邊形BEPF}，
∴

a

4

-x=4x，
解得：x=

a

20

，
∴S_△APD=4×

a

20

=

a

5

，
∵AQ∥PC，
∴S_△APQ=S_△ACQ，
∴S_△ACQ+S_△ADQ=

a

5

，
∴S_△CDQ=

a

2

-

a

5

=

3a

10

，
∵S_△EBP=S_△AEP=

a

20

，S_△ABP+S_△CDP=

a

2

，
∴S_△APD=

a

2

-S_△ABP-S_△CDQ=

a

2

-

a

10

-

3a

10

=

a

10

，
∴

PQ

PD

=

S△CPQ

S△CQD

=

a 10

3a 10

=

1

3

，
∴

PQ

PD

=

1

4

，
∴S_△APQ=

1

4

S_△APD=

a

20

，
∴S_梯形APCQ=S_△APQ+S_△CPQ=

a

20

+

a

10

=

3a

20

，
∴

S梯形APCQ

S平行四邊形ABCD

=

3

20

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了面積與等積變換的知識(shí)．此題難度較大，注意等高三角形面積的比等于其對(duì)應(yīng)底的比的性質(zhì)的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．