Question

2．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，AC在直線l上．將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到位置①，可得到點(diǎn)P₁，此時AP₁=2；將位置①的三角形繞點(diǎn)P₁順時針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點(diǎn)P₂，此時AP₂=2+$\sqrt{3}$；將位置②的三角形繞點(diǎn)P₂順時針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點(diǎn)P3，此時AP₃=3+$\sqrt{3}$；…，按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直到得到點(diǎn)P₂₀₁₄為止，則P₁P₂₀₁₄=（　　）

• A． 2012+671$\sqrt{3}$
• B． 2013+671$\sqrt{3}$
• C． 2014+671$\sqrt{3}$
• D． 2015+671$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如圖，從整個運(yùn)動過程分析，可以判斷該旋轉(zhuǎn)變換在做以3為周期的周期運(yùn)動，此為解題的關(guān)鍵性結(jié)論；
由${P}_{1}{P}_{2}=\sqrt{3}$，${P}_{1}{P}_{5}=\sqrt{3}+（3+\sqrt{3}）$，${P}_{1}{P}_{8}=\sqrt{3}+2（3+\sqrt{3}）$…可以發(fā)現(xiàn)線段P₁P_n（n為大于1的自然數(shù)）的長存在等差關(guān)系，運(yùn)用此規(guī)律即可解決問題．

解答 解：如圖，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1
∴AB=2，BC=$\sqrt{3}$；由題意得：該旋轉(zhuǎn)變換在做以3為周期的周期運(yùn)動，其中${P}_{1}{P}_{2}=\sqrt{3}$，${P}_{2}{P}_{5}=3+\sqrt{3}$，
${P}_{5}{P}_{8}=3+\sqrt{3}$，而2012=670×3+2，
∴P₁P₂₀₁₄=$\sqrt{3}+670（3+\sqrt{3}）+3$
=2013+671$\sqrt{3}$，
故選B．

點(diǎn)評 該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是能夠發(fā)現(xiàn)△ABC每旋轉(zhuǎn)三次以后，經(jīng)歷同樣的旋轉(zhuǎn)變換，相鄰線段P₁P_n（n為大于1的自然數(shù)）之間存在等差關(guān)系．