Question

如圖，在矩形ABCD中，點E為AB的中點，EF⊥EC交AD于點F，連接CF（AD＞AE），下列結(jié)論：

①∠AEF=∠BCE；

②AF+BC＞CF；

③S△CEF=S△EAF+S△CBE；

④若=，則△CEF≌△CDF．

其中正確的結(jié)論是　 　．（填寫所有正確結(jié)論的序號）

 

 

Answer 1

①③④

【解析】

試題分析：∵EF⊥EC，

∴∠AEF+∠BEC=90°，

∵∠BEC+∠BCE=90°，

∴∠AEF=∠BCE，故①正確；

又∵∠A=∠B=90°，

∴△AEF∽△BCE，

∴，

∵點E是AB的中點，

∴AE=BE，

∴，

又∵∠A=∠CEF=90°，

∴△AEF∽△ECF，

∴∠AFE=∠EFC，

過點E作EH⊥FC于H，

則AE=DH，

在Rt△AEF和Rt△HEF中，

，

∴Rt△AEF≌Rt△HEF（HL），

∴AF=FH，

同理可得△BCE≌△HCE，

∴BC=CH，

∴AF+BC=CF，故②錯誤；

∵△AEF≌△HEF，△BCE≌△HCE，

∴S△CEF=S△EAF+S△CBE，故③正確；

若，則tan∠BCE=，

∴∠BEC=60°，

∴∠BCE=30°

∴∠DCF=∠ECF=30°，

又∵∠D=∠CEF, CF=CF

∴△CEF≌△CDF（AAS），故④正確，

綜上所述，正確的結(jié)論是①③④．

故答案為：①③④．

考點：1、矩形的性質(zhì)；2、全等三角形；3、三角函數(shù)；4、相似三角形