Question

1．把兩個全等的等腰直角三角板（直角邊長為4）疊放在一起，且三角板EFG的直角頂點G位于三角板ABC的斜邊中點處．現(xiàn)將三角板EFG繞G點按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜90°）（如圖1），四邊形GKCH為兩三角板的重疊部分．
（1）猜想BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）連接HK（如圖2），在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH=x，△GKH的面積為y，
①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當(dāng)△GKH的面積恰好等于△ABC面積的$\frac{5}{16}$，求x．

Answer 1

分析 （1）先由ASA證出△CGK≌△BGH，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BH=CK，根據(jù)全等得出四邊形CKGH的面積等于三角形ACB面積一半；
（2）①由（1）易得S_{四邊形CHGK}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，然后根據(jù)面積公式得出y=$\frac{1}{2}$x²-2x+4；
②根據(jù)△GKH的面積恰好等于△ABC面積的$\frac{5}{16}$，代入得出方程即可求得結(jié)果．

解答 解：（1）BH=CK．
理由如下：∵點O是等腰直角三角板ABC斜邊中點，
∴∠B=∠GCK=45°，BG=CG，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知∠BGH=∠CGK，
在△BGH和△CGK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠GCK}\\{BG=CG}\\{∠BGH=∠CGK}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△CGK（ASA），
∴BH=CK；

（2）①∵△BGH≌△CGK，
∴S_{四邊形CHGK}=S_△CGK+S_△CGH=S_△BGH+S_△CGH=S_△BCG=$\frac{1}{2}$S_△ABC=4，
∴S_△GKH=S_{四邊形CHGK}-S_△KCH=4-$\frac{1}{2}$CH×CK，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-2x+4（0＜x＜4），

 ②當(dāng)y=$\frac{5}{16}$×8=$\frac{5}{2}$時，即 $\frac{1}{2}$x²-2x+4=$\frac{5}{2}$，
∴x=1 或x=3．
∴當(dāng)△GKH的面積恰好等于△ABC面積的$\frac{5}{16}$時，BH=1 或BH=3．

點評 此題屬于幾何變換的綜合題．主要考查了全等三角形的判定以及等腰直角三角形性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變．