Question

14．如圖，在平行四邊形ABCD中，過對角線BD中點的直線交AD、BC邊于F、E．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）當四邊形BEDF是菱形時，寫出EF與BD的關系．
（3）若∠A=60°，AB=4，BC=6，四邊形BEDF是矩形，求該矩形的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結論；
（2）根據(jù)根據(jù)菱形的性質作出判斷：EF與BD互相垂直平分；
（3）根據(jù)Rt△ABF的邊角關系，求得BF和AF，再根據(jù)矩形的性質，求得DF的長，最后計算矩形的面積．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是BD中點，
∴BC∥AD，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）當四邊形BEDF是菱形時，根據(jù)菱形的性質可得：EF與BD互相垂直平分；
（3）∵四邊形BEDF是矩形
∴∠AFB=90°
又∵∠A=60°，
∴∠ABF=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴Rt△ABF中，BF=2$\sqrt{3}$，
又∵AD=BC=6，
∴DF=6-2=4，
∴矩形BEDF的面積=BF×DF=2$\sqrt{3}$×4=8$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了平行四邊形的判定與性質，菱形、矩形的性質以及全等三角形的判定與性質，解題時注意：矩形的對邊平行且相等，菱形的對角線互相垂直平分，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．