Question

如圖，已知矩形OABC的一個(gè)頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2），反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形的對(duì)稱中心E，且與邊BC交于點(diǎn)D．

（1）求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若過點(diǎn)D的直線y=mx+n將矩形OABC的面積分成3：5的兩部分，求此直線的解析式．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．

【專題】代數(shù)綜合題；數(shù)形結(jié)合．

【分析】（1）根據(jù)中心對(duì)稱求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式求出k，然后根據(jù)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等代入求解即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為F，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出CD，再根據(jù)梯形的面積分兩種情況求出OF的長(zhǎng)，然后寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線解析式即可．

【解答】解：（1）∵矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2），E是矩形ABCD的對(duì)稱中心，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，1），

代入反比例函數(shù)解析式得， =1，

解得k=2，

∴反比例函數(shù)解析式為y=，

∵點(diǎn)D在邊BC上，

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，

∴y=2時(shí)， =2，

解得x=1，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）；

 

（2）如圖，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為F，

矩形OABC的面積=4×2=8，

∵矩形OABC的面積分成3：5的兩部分，

∴梯形OFDC的面積為×8=3，

或×8=5，

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），

∴若（1+OF）×2=3，

解得OF=2，

此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），

若（1+OF）×2=5，

解得OF=4，

此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0），與點(diǎn)A重合，

當(dāng)D（1，2），F(xiàn)（2，0）時(shí)，，

解得，

此時(shí)，直線解析式為y=﹣2x+4，

當(dāng)D（1，2），F(xiàn)（4，0）時(shí)，，

解得，

此時(shí)，直線解析式為y=﹣x+，

綜上所述，直線的解析式為y=﹣2x+4或y=﹣x+．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，（1）根據(jù)中心對(duì)稱求出點(diǎn)E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，（2）難點(diǎn)在于要分情況討論．