Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一點．
（1）過A、B、D三點作⊙O，交線段AC于點E（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）若

DE

=

DB

，求證：AB是⊙O的直徑；
（3）在（2）的條件下，若AB=5，BC=6，求AE的長．

Answer 1

考點：作圖—復(fù)雜作圖

專題：

分析：（1）作AB與BD的垂線，交于點O，點O就是△ABD的外心，⊙O交線段AC于點E；
（2）連結(jié)DE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，即可得到AD是等腰三角形ABC底邊上的高線，從而證明AB是⊙O的直徑；
（3）連結(jié)BE，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于AE的方程，解方程即可求解．

解答：（1）解：如圖1所示：


（2）證明：如圖2，連結(jié)DE，AD．

∵過A、B、D三點作⊙O，交線段AC于點E，
∴A、B、D、E四點共圓，
∴∠DEC=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠DEC=∠ACB，
∴DE=CD，
∵

DE

=

DB

，
∴DE=BD，
∴CD=BD，
∴AD⊥BC，
∴AB是⊙O的直徑；

（3）如圖3，連結(jié)BE．

∵AB是⊙O的直徑，
∴BE⊥AC，
由勾股定理可得，AB²-AE²=BC²-（AC-AE）²，即5²-AE²=6²-（5-AE）²，
解得AE=1.4．
故AE的長是1.4．

點評：考查了作圖-復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的作法，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，方程思想的應(yīng)用．