Question

如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點，DB=DA，BP=AB，∠DPB=∠DBC．求證：∠BPD=30°．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質

專題：證明題

分析：如圖，連接CD，已知△ABC是等邊三角形，則AB=AC=BC，又AD=BD，易證△BDC≌△ADC，可得∠DCB=∠DCA=30°，∠DBC=∠DAC，已知∠DBP=∠DBC，所以∠DAC=∠DBP，又已知BP=BA，可得BP=AC，所以△DBP≌△DAC，所以∠BPD=∠ACD=30°．

解答：解：如圖，連接CD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，
在△BDC與△ADC中，

BC=AC AD=BD DC=DC

，
∴△BDC≌△ADC（SSS），
∴∠DCB=∠DCA=

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×60°=30°，∠DBC=∠DAC，
∵∠DBP=∠DBC，
∴∠DAC=∠DBP，
又已知BP=BA，
∴BP=AC，
在△DBP與△DAC中，

DB=DA ∠DBP=∠DAC BP=AC

，
∴△DBP≌△DAC（SAS），
∴∠BPD=∠ACD=30°．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質和全等三角形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具；在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．