Question

17．紅安卷煙廠生產(chǎn)的“龍鄉(xiāng)”牌香煙盒里，裝滿大小均勻的20支香煙，打開煙盒的頂蓋后，二十支香煙排列成三行，經(jīng)測量，一支香煙的直徑約為0.75cm，長約為8.4cm．
（1）試計算煙盒頂蓋ABCD的面積（本小題計算結果不取近似值）．
（2）制作這樣一個煙盒至少需要多少面積的紙張（不計重疊粘合的部分，計算結果精確到0.1cm，$\sqrt{3}$取1.73）．

Answer 1

分析 （1）求煙盒頂蓋ABCD的面積，即求AB與AD的積；如圖，可以作O₁E⊥O₂O₃，求出O₁E的長，而由圖發(fā)現(xiàn)AB=2×O₁E+一支香煙的直徑，AD=7×一支香煙的直徑，從而解決問題；
（2）煙盒至少需要多少面積的紙張，通過長方體的表面積公式可得．

解答 解：（1）如圖，作O₁E⊥O₂O₃；
∵O₁O₂=O₂O₃=O₃O₁=0.75=$\frac{3}{4}$，∠O₁O₂O₃=60°，
∴O₁E=O₁O₂•sin60°=$\frac{3}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
∴AB=2×$\frac{3\sqrt{3}}{8}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}+3}{4}$（cm），
AD=7×$\frac{3}{4}$（cm），
∴四邊形ABCD的面積是：$\frac{21}{4}$×$\frac{3\sqrt{3}+3}{4}$=$\frac{63\sqrt{3}+63}{16}$（cm）²，


（2）制作一個煙盒至少需要紙張：2（$\frac{63\sqrt{3}+63}{16}$+$\frac{3\sqrt{3}+3}{4}$×8.4+$\frac{21}{4}$×8.4）=144.096≈144.1（cm）²，
答：制作一個煙盒至少需要的紙張是144.1（cm）²．

點評 本題考查了銳角三角函數(shù)關系的應用以及多個圓的位置關系中的面積問題，關鍵是將圖形細化為三個圓，求出AB的長．