Question

6．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，∠CDB=45°．過點(diǎn)C作CE∥AB交DB的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若cos∠CED=$\frac{1}{3}$，BD=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）要證CE是⊙O的切線，只要證明∠OCE=90°，根據(jù)，∠CDB=45°，CE∥AB可以求得∠OCE=90°，從而可以解答本題；
（2）要求⊙O的直徑，根據(jù)CE∥AB，cos∠CED=$\frac{1}{3}$，BD=6，可以求得AB的長，本題得以解決．

解答 （1）證明：連接BC、CO，如右圖所示，
∵AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，∠CDB=45°，
∴∠COB=2∠CDB=90°，
∵CE∥AB，
∴∠COB+∠OCE=180°，
∴∠OCE=90°，
即CE是⊙O的切線；
（2）連接AD，如右上圖所示，
∵CE∥AB，
∴∠CED=∠ABD，
∵cos∠CED=$\frac{1}{3}$，BD=6，AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，cos∠ABD=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴AB=18，
即⊙O的直徑是18．

點(diǎn)評 本題考查切線的判定、圓周角定理、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．