Question

7．將兩塊全等的三角板如圖放置，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，現(xiàn)將三角板A′B′C′繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，B′C′、A′B′與邊AC分別交于點(diǎn)M、N，當(dāng)CM=$\frac{25}{8}$或$\frac{7}{4}$時(shí)，△OMN與△BCO相似．

Answer 1

分析 由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出OC=$\frac{1}{2}$AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性質(zhì)得出∠B=∠MON．△OMN與△BCO相似，分兩種情況：①當(dāng)OM=MN時(shí)，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，則AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面積求出CE，由相似三角形的性質(zhì)得出比例式求出OM=MN=$\frac{25}{8}$，由勾股定理求出DM，得出CM=CD-DM=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$；②當(dāng)ON=MN時(shí)，由△OMN∽△BCO，得出$\frac{OM}{BC}$=$\frac{MN}{BO}=\frac{OD}{CE}$=$\frac{5}{8}$，求出OM，與勾股定理求出DM，即可得出CM的長(zhǎng)．

解答 解：∵∠ACB=90°，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=OA=OB=5，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠B=∠MON．
若△OMN與△BCO相似，分兩種情況：
①當(dāng)OM=MN時(shí)，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如圖所示：
則AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=4，△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{24}{5}$，
∵△OMN∽△BOC，
∴$\frac{MN}{BO}=\frac{OD}{CE}$=$\frac{3}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5}{8}$，
即$\frac{MN}{5}=\frac{5}{8}$，
∴OM=MN=$\frac{25}{8}$，
∴DM=$\sqrt{O{M}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{7}{8}$，
∴CM=CD-DM=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$；
②當(dāng)ON=MN時(shí)，
∵△OMN∽△BCO，
∴$\frac{OM}{BC}$=$\frac{MN}{BO}=\frac{OD}{CE}$=$\frac{3}{\frac{24}{5}}$=$\frac{5}{8}$，
即$\frac{OM}{6}=\frac{5}{8}$，
解得：OM=$\frac{15}{4}$，
∴DM=$\sqrt{O{M}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{9}{4}$，
∴CM=CD-DM=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$；
綜上所述：當(dāng)CM=$\frac{25}{8}$或$\frac{7}{4}$時(shí)，△OMN與△BCO相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握勾股定理，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．