Question

5．在平面直角坐標系中，直角梯形OA₁B₁C的位置如圖所示，A₁的坐標為（0，2），點C的坐標為（2，0），tan∠OCB₁=2，連接A₁C交OB₁于點B₂，作A₂B₂⊥y軸于點A₂，得到第二個直角梯形OA₂B₂C，連接A₂C交OB₁于點B₃，同樣辦法得到第三個直角梯形OA₃B₃C，…以此類推，第n個直角梯形頂點B_n的坐標為（$\frac{1}{12}$n²-$\frac{7}{12}$n+$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{6}$n²-$\frac{7}{6}$n+3）．

Answer 1

分析 作B₁D⊥OC于D，根據(jù)tan∠OCB₁=2，求出B₁的坐標，根據(jù)相似三角形的性質求出B₂的坐標，總結規(guī)律得到答案．

解答 解：作B₁D⊥OC于D，
由題意得，B₁D=OA₁=2，0C=2，
∵tan∠OCB₁=2，∴CD=1，
則AB₁=1，B₁（1，2），
∵A₁B₁∥OC，
∴$\frac{{A}_{1}{B}_{2}}{{B}_{2}C}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∵A₂B₂∥OC，
∴$\frac{{A}_{2}{B}_{2}}{OC}$=$\frac{{A}_{1}{B}_{2}}{{A}_{1}C}$=$\frac{{A}_{1}{A}_{2}}{{A}_{1}O}$=$\frac{1}{3}$，
∴A₂B₂=$\frac{2}{3}$，A₂O=$\frac{4}{3}$，
則B₂（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
同理，B₃（$\frac{1}{2}$，1），
…
B_n的坐標為：（$\frac{1}{12}$n²-$\frac{7}{12}$n+$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{6}$n²-$\frac{7}{6}$n+3）

點評 本題考查的是直角梯形的性質、坐標與圖形的性質以及相似三角形的判定和性質，根據(jù)相似三角形的性質分別求出B₁、B₂、B₃的坐標并總結出規(guī)律是解題的關鍵．