Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，OA=2，OB=1，OC=4．
（1）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，試問(wèn)：在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）若拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)P，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)Q，使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形？若存在，寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，選擇一種情況加以說(shuō)明；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c．將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a、b、c的方程，從而可求得a、b、c的值；
（2）分為AB為菱形的邊和AB為菱形的對(duì)角共可畫(huà)出4種不同的圖形，然后依據(jù)菱形對(duì)邊平行，對(duì)角線(xiàn)互相平分的性質(zhì)確定出點(diǎn)N的坐標(biāo)即可；
（3）如圖5所示：分別以點(diǎn)A和點(diǎn)P為直角的頂點(diǎn)作出等腰直角△APQ，然后由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)Q₁作Q₁M⊥x軸，垂足為M．
然后證明△AOP≌△PMQ₁，由全等三角形的性質(zhì)可求得Q₁M=0P=$\frac{3}{2}$，PM=OA=2，于是可求得點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可知；A（0，2）、B（-1，0）、C（4，0）．
設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c．則$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
所以?huà)佄锞�(xiàn)的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）如圖1所示：
∵四邊形ABNM為菱形，
∴OA=ON．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，-2）．

如圖2所示：

由勾股定理可知：AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵四邊形ABMN為菱形，
∴NA∥BM，AN=AB，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-$\sqrt{5}$，2）．
如圖3所示；

∵四邊形ABMN為菱形，
∴NA∥BM，AN=AB．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（$\sqrt{5}$，2）．
如圖4所示：

∵四邊形ABMN為菱形，
∴NA∥BM，AN=NB．
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，2）．由兩點(diǎn)間的距離公式可知：（x+1）²+2²=x²．
解得：x=-2.5．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2.5，2）．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，-2），（$\sqrt{5}$，2），（-$\sqrt{5}$，2），（-2.5，2）．
（3）如圖5所示：

使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形的所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q₁（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），Q₂（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），Q₃（2，$\frac{7}{2}$），Q₄（-2，$\frac{1}{2}$）．
說(shuō)明Q₁：過(guò)點(diǎn)Q₁作Q₁M⊥x軸，垂足為M．
∵x=-$\frac{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，0）．
∴OP=$\frac{3}{2}$．
由題意得；∠APQ₁=90°，PA=PQ₁．
∴∠OPA+∠CPQ₁=90°．
∵∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠MPQ₁．
在△AOP和△PMQ₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠{Q}_{1}MP}\\{∠OAP=∠MP{Q}_{1}}\\{AP=P{Q}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△PMQ₁．
∴Q₁M=0P=$\frac{3}{2}$，PM=OA=2
∴OM=OP+PM=$\frac{3}{2}$+2=$\frac{7}{2}$．
∴點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意畫(huà)出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．