Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于C點，∠ACB≥90°．
（1）求點C的坐標（用含a的代數式表示）；
（2）求a的取值范圍；
（3）設D為拋物線的頂點，求△ACD中邊CD上的高h的最大值．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出c的值，也就得出了C點的坐標；
（2）由于拋物線的解析式中二次項系數的絕對值越大開口越小，因此可計算出當∠ACB=90°時a的取值進而來求a的取值范圍．當∠ACB=90°時，根據射影定理可求出OC的長，根據（1）中表示C點坐標的式子可得出此時a的值．因此a的取值范圍就應該是0到這個值之間（a≠0）；
（3）延長DC交x軸于H，過A作AM⊥DH于M，那么AM就是所求的h；先根據拋物線的解析式求出拋物線的頂點坐標，過D作DG⊥y軸于G，根據相似三角形DCG和HCO不難求出OH=3，那么AH=2，因此在直角三角形HAM中，要想使AM最長，就需要使∠OHC最大，即OC要最長，根據（2）a的取值范圍即可得出a的最大值，也就能求出此時∠AHM的正弦值，進而可求出AM的最大值．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，0），B（3，0），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
消去b，得c=-3a
∴C的坐標為（0，-3a）；

（2）當∠ACB=90°時，∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠OBC+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠OBC，
∴△AOC∽△COB
∴

AO

OC

=

OC

OB

，
∴OC²=AO•OB，
∵AO=1，OB=3，
∴OC=

3

，
∵∠ACB≥90°，
∴OC≤

3

，
若a＞0，則-c≤

3

，
由（1）得3a≤

3

，
∴a≤

3

3

，
∴a的取值范圍為：0＜a≤

3

3

；
若a＜0，則c≤

3

，
即-3a≤

3

，
∴a≥-

3

3

，
∴a的取值范圍為：-

3

3

≤a＜0；
綜上可得：a的取值范圍為：0＜a≤

3

3

或-

3

3

≤a＜0；

（3）作DG⊥y軸于點G，延長DC交x軸于點H，如圖，
∵拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（-1，0），B（3，0），
∴拋物線的對稱軸為x=1，
即-

b

2a

=1，
∴b=-2a，
又由（1）有c=-3a，
∴拋物線方程為：y=ax²-2ax-3a，
∴D點坐標為（1，-4a），
∴CO=|3a|，GC=|a|，DG=1，
∵DG∥OH，
∴△DCG∽△HCO，
∴

DG

OH

=

GC

CO

，即

1

OH

=

|a|

|3a|

，
∴OH=3，
∴直線DC過定點H（-3，0），
∴AH=2，
過A作AM⊥DH，垂足為M，即AM=h，
∴h=HAsin∠OHC=2sin∠OHC，
∵0＜CO≤

3

，
∴0°＜∠OHC≤30°，
∴0＜sin∠OHC≤

1

2

，
∴0＜h≤1，
∴h的最大值為1．

點評：此題屬于二次函數的綜合題，考查了待定系數求函數解析式、相似三角形的判定與性質以及銳角三角函數的知識．此題難度較大，綜合性較強，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．