Question

在△ABC中，AD、BE分別為BC、AC邊上的高，F(xiàn)為AB邊上的中點，當∠C=2∠EFD時，求∠C的度數(shù)．

Answer 1

考點：直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：先在RT△ABE中，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AF=EF=BF，根據(jù)等邊對等角得到∠FAE=∠AEF，∠FEB=∠FBE．同理，在直角三角形ABD中，得出AF=DF=BF，那么∠FAD=∠ADF，∠FDB=∠FBD，再根據(jù)四邊形CDFE內(nèi)角和為360°得出∠C+∠CEB+∠BEF+∠ADF+∠ADC+∠EFD=360°，將∠C=2∠EFD代入得到∠C+

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∠C+∠EBF+∠DAF=180°．設(shè)AD，BE交于點G．由三角形外角的性質(zhì)得出∠EBF+∠DAF=∠AGE，進而得到∠C+

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∠C+∠C=180°，從而求得∠C=72°．

解答：解：在RT△ABE中，
∵F為AB中點，
∴AF=EF=BF，
∴∠FAE=∠AEF，∠FEB=∠FBE．
同理，在直角三角形ABD中，
AF=DF=BF，
∠FAD=∠ADF，∠FDB=∠FBD，
∵∠C+∠CEB+∠BEF+∠ADF+∠ADC+∠EFD=360°，
∴∠C+∠BEF+∠EFD+∠ADF+180°=360°，
∴∠C+

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∠C+∠BEF+∠ADF=180°，
∴∠C+

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∠C+∠EBF+∠DAF=180°．
設(shè)AD，BE交于點G．
∴∠EBF+∠DAF=∠AGE，
∵∠AEB=∠ADC，
∴∠C=∠EGA，
∴∠C+

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∠C+∠C=180°，
∴∠C=72°．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，有一定難度．