Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的象經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點，且與y軸交于點C。

（1）求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點M及點C的坐標；
（2）若直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）點P是這個二次函數(shù)的對稱軸上一動點，請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點P，使以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點，并且與直線CD相切？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）因為二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點
所以，可建立方程組：
解得：
所以，所求二次函數(shù)的解析式為
所以，頂點M（1，4），點C（0，3）。
（2）直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點，
所以
即k=1，d=3
直線解析式為y=x+3
令y=0，得x=-3，故D（-3，0）
∴ CD=AN=，AD=2，CN=2
∴CD=AN ，AD=CN
∴ 四邊形CDAN是平行四邊形。
（3）假設存在這樣的點P，使以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點，并且與直線CD相切，因為這個二次函數(shù)的對稱軸是直線x=1，故可設P（1，），
則PA是圓的半徑且
過P做直線CD的垂線，垂足為Q，
則PQ=PA時以P為圓心的圓與直線CD相切。
由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，
故△PQM也是等腰直角三角形，
由P（1，）得PE=，PM=|4-|，PQ=
由得方程：，解得，符合題意，
所以，滿足題意的點P存在，其坐標為（1，）或（1，）。