Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn) 交 軸于 兩點(diǎn)，交 軸于點(diǎn) ， ．

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的解析式；
（Ⅱ）若 是拋物線(xiàn)的第一象限圖象上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為m，
點(diǎn) 在線(xiàn)段 上，CD=m，當(dāng) 是以 為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在拋物線(xiàn)上一點(diǎn) ，使 ，若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解:(Ⅰ) ∵當(dāng) =0時(shí), =4,
∴C(0,4) ，OB=4OA， CBO=45°
∴OC=OB=4, OA=1 A(-1,0) ，B(4,0)
設(shè) ， 解得： =-1,

(Ⅱ) 設(shè)P(m,-m2+3m+4)，PCD是以CD為底邊的等腰三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于E，CD=m CE=DE，OE=4- m,

∴4- m=-m2+3m+4 m>0 m=
∴P（ ， ）
(Ⅲ)假設(shè)存在，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD于點(diǎn)E，且交CB于H，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于F,

P（ ， ）這時(shí)CD=3.5 ，D(0,0.5)
可求出直線(xiàn)PD的解析式: 可知直線(xiàn)PD 過(guò)點(diǎn)A(-1,0)
若設(shè)∠APQ2=∠BCP= ∠CPE=∠EPA=∠PAB= ， CBO= CHE= 45°,
又 CHE= +
∴ + =45°= EPG = PGF
∴PF=FG= ，OG= - =
∴G( ,0), 可求出直線(xiàn)PG的解析式:
由
解得x1 = ， x2= (舍去)
∴ Q2（ ， ）
作點(diǎn)G關(guān)于直線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)S,

由于PD的解析式:
∴設(shè)GS的解析式： 過(guò)點(diǎn)G，得出 = ， ， 聯(lián)立得： ，解得：
求出點(diǎn)K（ ， ）
∵點(diǎn)K為SG的中點(diǎn),求出S( , ) P（ ， ） ∴PS的解析式為:
∴ ，解得: （舍去） ， ，
∴Q1（ ， ）
【解析】(Ⅰ) 利用當(dāng) x =0時(shí), y =4,可知C(0,4)，結(jié)合∠ CBO=45°，得出B(4,0)，利用待定系數(shù)法即可求出解析式.
(Ⅱ) 根據(jù)題意可設(shè)P(m,-m2+3m+4)，利用等腰三角形的性質(zhì)得解.
(Ⅲ)充分利用 ∠ PCB = ∠ APQ ，利用交點(diǎn)聯(lián)立函數(shù)解析式為方程組，解出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，此小題注意不要丟情況.