Question

探索題：
（1）設(shè)n表示任意一個整數(shù)，則用含有n的代數(shù)式表示任意一個偶數(shù)為

2n

，用含有n的代數(shù)式表示任意一個奇數(shù)為

2n+1或2n-1

；
（2）用舉例驗證的方法探索：任意兩個整數(shù)的和與這兩個數(shù)的差是否同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)？你的結(jié)論是

是

（填“是”或“否”）；
（3）設(shè)a、b是任意的兩個整數(shù)，試用“用字母表示數(shù)”的方法并分情況來說明a+b和a-b是否“同奇”或“同偶”？并進一步得出一般性的結(jié)論．
例：①設(shè)a=2m，b=2n．
則a+b=2m+2n=2（m+n）；a-b=2m-2n=2（m-n）；
此時a+b和a-b同時為偶數(shù)．
請你仿照以上的方法并考慮其余所有可能的情況加以計算和說明；
（4）以（3）的結(jié)論為基礎(chǔ)進一步探索：-a+b、-a-b、a+b、a-b是否“同奇”“同偶”？
（5）應(yīng)用第（2）、（3）、（4）的結(jié)論完成：在2014個自然數(shù)1，2，3，…，2013，2014的每一個數(shù)的前面任意添加“+”或“-”，則其代數(shù)和一定是

奇數(shù)

（填“奇數(shù)”或“偶數(shù)”）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇數(shù)與偶數(shù)的定義寫出即可；
（2）任意兩個整數(shù)的和與這兩個數(shù)的差是同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)；
（3）分①設(shè)a=2m，b=2n，②設(shè)a=2m，b=2n+1，③設(shè)a=2m+1，b=2n，④設(shè)a=2m+1，b=2n+1四種情況討論可證明結(jié)論；
（4）由（3）的結(jié)論得出；
（5）應(yīng)用第（2）、（3）、（4）的結(jié)論完成．

解答：解：（1）用含有n的代數(shù)式表示任意一個偶數(shù)為2n，用含有n的代數(shù)式表示任意一個奇數(shù)為2n+1或2n-1（奇數(shù)的表達式寫出一個即可）；

（2）任意兩個整數(shù)的和與這兩個數(shù)的差是同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)；

（3）②設(shè)a=2m，b=2n+1，
則：a+b=2m+2n+1=2（m+n）+1a-b=2m-（2n+1）=2（m-n）-1
此時a+b和a-b同時為奇數(shù)      
③設(shè)a=2m+1，b=2n
則：a+b=2m+1+2n=2（m+n）+1a-b=2m+1-2n=2（m-n）+1
此時a+b和a-b同時為奇數(shù)
④設(shè)a=2m+1，b=2n+1
則：a+b=2m+1+2n+1=2（m+n+1）a-b=（2m+1）-（2n+1）=2（m-n）
此時a+b和a-b同時為偶數(shù)
由此可見：a+b和a-b要么同時為奇數(shù)，要么同時為偶數(shù)，
即a+b和a-b的奇偶性相同；  

（4）由（3）的結(jié)論：
-a+b=b-a與a+b=b+a奇偶性相同，
-a-b=-b-a與a-b=-b+a奇偶性相同
因此-a+b、-a-b、a+b、a-b“同奇”或“同偶”

（5）在2014個自然數(shù)1，2，3，…，2013，2014的每一個數(shù)的前面任意添加“+”或“-”，則其代數(shù)和一定是奇數(shù)．
故答案為：2n，2n+1或2n-1；是；奇數(shù)．

點評：本題主要考查了奇數(shù)與偶數(shù)的意義及推到偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)的過程．