Question

7．在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F．

（1）在圖1中證明CE=CF；
（2）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連結DB、DG（如圖2），求∠BDG的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，AB∥CD．證出∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，得出∠CEF=∠F，即可得出結論；
（2）證出四邊形CEGF是菱形，得出EG=EC，∠GCF=∠GCE=$\frac{1}{2}$∠ECF=60°．得出△ECG是等邊三角形．得出EG=CG，∠GEC=∠EGC=60°，得出∠GEC=∠GCF，因此∠BEG=∠DCG，證出AB=BE．BE=DC，由SAS證明△BEG≌△DCG．得出BG=DG，∠1=∠2，求出∠BGD，即可得出結果．

解答 （1）證明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F，
∴CE=CF．
（2）解：分別連接GB、GE、GC，如圖2所示．
∵AB∥DC，∠ABC=120°，
∴∠ECF=∠ABC=120°，
∵FG∥CE且FG=CE，
∴四邊形CEGF是平行四邊形．
由（1）得CE=CF，
∴四邊形CEGF是菱形，
∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=$\frac{1}{2}$∠ECF=60°．
∴△ECG是等邊三角形．
∴EG=CG，∠GEC=∠EGC=60°，
∴∠GEC=∠GCF，
∴∠BEG=∠DCG，
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE．
在□ABCD中，AB=DC．
∴BE=DC，
在△BEG和△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}{EG=CG}&{\;}\\{∠BEG=∠DCG}&{\;}\\{BE=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△DCG（SAS）．
∴BG=DG，∠BGE=∠CGD，
∴∠BGD=∠BGE+∠DGE=∠BGE+∠DGE=∠EGC=60°．
∴∠BDG=$\frac{1}{2}$（180°-∠BGD）=60°．

點評 此題主要考查平行四邊形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，菱形的判定、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明三角形全等是解決問題（2）的關鍵．