Question

11．如圖，在△ABC中，AB=c，AC=b．AD是△ABC的角平分線，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，EF與AD相交于O，已知△ADC的面積為1．
（1）證明：DE=DF；
（2）試探究線段EF和AD是否垂直？并說明理由；
（3）若△BDE的面積是△CDF的面積2倍．試求四邊形AEDF的面積．

Answer 1

分析 （1）由角平分線的性質(zhì)直接可得到DE=DF；
（2）可證明△AED≌△AFD，可知AE=AF，利用線段垂直平分線的判定可證明AD是EF的垂直平分線，可證得結(jié)論；
（3）設(shè)△CDF的面積為x，則可分別表示出△BED、△ADE的面積，利用三角形的面積可分別表示出DE和DF，根據(jù)DE=DF可得到關(guān)于x的方程，可求得x的值，進一步可求得四邊形AEDF的面積．

解答 解：
（1）證明：
∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥A于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF（角平分線的性質(zhì)）；
（2）垂直．理由如下：
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠FAD}\\{∠AED=∠AFD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴點A在線段EF的垂直平分線上，
同理點D也在線段EF的垂直平分線上，
∴AD⊥EF；
（3）設(shè)S_△CDF=x，則S_△BDE=2x，
∵S_△ACD=1，且△AED≌△AFD，
∴S_△AED=S_△AFD=1-x，
∴S_△ABD=S_△BDE+S_△AED=2x+1-x=x+1，
又S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DE，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DF，且AB=c，AC=b，
∴$\frac{1}{2}$×c•DE=x+1，$\frac{1}{2}$×b•DF=1，
∴DE=$\frac{2x+2}{c}$，DF=$\frac{2}$，
又由（1）可知DE=DF，
∴$\frac{2x+2}{c}$=$\frac{2}$，解得x=$\frac{c}$-1，
∵△AED≌△AFD，
∴S_△AED=S_△AFD=S_△ACD-S_△CDF=1-x，
∴S_{四邊形AEDF}=2S_△AED=2（1-x）=2[1-（$\frac{c}$-1）]=4-$\frac{2c}$，
即四邊形AEDF的面積為4-$\frac{2c}$．

點評 本題為三角形的綜合應用，涉及知識點有角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的判定及方程思想等．在（2）中可利用等腰三角形的性質(zhì)證明，但是利用垂直平分線的判定更容易證明，在（3）中用b、c表示出DE和DF是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應用．本題考查知識點較基礎(chǔ)，但是第（3）問有一定的難度．