Question

【題目】兩條拋物線與的兩個(gè)交點(diǎn)、都在軸上，拋物線的頂點(diǎn)為.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在軸正半軸上有一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的面積；

(3)判斷在軸上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)恰好落在拋物線上?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；（3）存在；點(diǎn)P坐標(biāo)為：或.

【解析】

（1）利用拋物線，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出的解析式即可；

（2）根據(jù)題意，可分兩種情況進(jìn)行討論，①在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，與y軸正半軸有交點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出面積；②在軸下方拋物線的對(duì)稱軸上，取一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，與y的正半軸有交點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算，不符合題意，最后即可得到的面積；

（3）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，設(shè)，先證明，然后利用方程的思想求出

的值，然后得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，設(shè)，與①同理可證，然后利用方程的思想求出z的值，得到點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：（1）∵點(diǎn)，都在軸上，

∴，

解得：，，

∴，，

把點(diǎn)，代入得，

解得：，

∴.

（2）如圖，拋物線的對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)為

，

∴.

①如圖，在軸上方拋物線的對(duì)稱軸上，取一點(diǎn)，使

，，

，

以點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，

與軸正半軸相交于點(diǎn)，即：，

.

設(shè)點(diǎn)()，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，

，（舍去），

.

②如圖，在軸下方拋物線的對(duì)稱軸上，取一點(diǎn)，使

，，

，

以點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓，

與軸正半軸相交于點(diǎn)，即：，舍去.

的面積為：.

（3），頂點(diǎn)，

如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，設(shè)，依題意得：

，，

，

，

恰好落在拋物線上，

∴(舍去）

.

②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，設(shè)，

同理可證：，

，

，

恰好落在拋物線上，

，(舍去）

.

綜上所述，，.