Question

3．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿邊DC，CB，BA運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/s．
①求△APD的面積y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
②分別求t=4和10時(shí)，y的值；
③t為何值時(shí)，△APD面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析 ①分三種情況分別計(jì)算△APD的面積y：
i）當(dāng)P在DC上時(shí)，0≤t≤4，如圖1，
ii）當(dāng)P在BC上時(shí)，4＜t≤8，如圖2，
iii）當(dāng)P在AB上時(shí)，8＜t≤12，如圖3，
②分別代入①中對(duì)應(yīng)的y與t的關(guān)系式中，求出即可；
③分別根據(jù)三種情況的關(guān)系式的增減性討論可得結(jié)論．

解答 解：①分三種情況：
i）當(dāng)P在DC上時(shí)，0≤t≤4，如圖1，
由題意得是：PD=t，
∴y=$\frac{1}{2}$AD•PD=$\frac{1}{2}$×4t=2t；
ii）當(dāng)P在BC上時(shí)，4＜t＜8，如圖2，
∴y=$\frac{1}{2}$AD•AB=$\frac{1}{2}$×4×4=8；
iii）當(dāng)P在AB上時(shí)，8≤t≤12，如圖3，
由題意得：DC+BC+BP=t，則AP=12-t，
∴y=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$×4×（12-t）=2（12-t）=-2t+24；
綜上所述，y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為：y=$\left\{\begin{array}{l}{2t（0≤t≤4）}\\{8（4＜t＜8）}\\{-2t+24（8≤t≤12）}\end{array}\right.$；

②當(dāng)t=4時(shí)，y=2t=2×4=8cm²；
當(dāng)t=10時(shí)，y=-2t+24=-2×10+24=4cm²；
③當(dāng)0≤t≤4時(shí)，t=4時(shí)，y有最大值為8，
當(dāng)4＜t＜8時(shí)，y_大=8，
當(dāng)8≤t≤12，y=-2t+24，
∵-2＜0，
∴y隨t的增大而減小，
∴當(dāng)x=8時(shí)，y有最大值是8，
綜上所述，當(dāng)4≤t≤8時(shí)，△APD面積最大，最大面積是8cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形和函數(shù)的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、三角形的面積、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、一次函數(shù)的最值問(wèn)題，難度適中，正確表示不同時(shí)間段點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程是關(guān)鍵，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．