Question

18．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx²-nx+m-$\frac{5}{4}$關于y軸對稱，且經(jīng)過點（-1，-$\frac{3}{4}$）
（1）求m，n的值；
（2）直線l經(jīng)過點（0，-2）且與y軸垂直，點P是拋物線上一動點，記P到直線l的距離為d，試探索d與線段OP長度的數(shù)量關系，并證明；
（3）若A（1，1），點P是拋物線上一動點，請結合函數(shù)圖象，直接寫出OP+AP的最小值，以及取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的對稱性和過已知點，可求得m、n的值；
（2）可設出P點坐標，再用P點坐標分別表示出d和OP的長，可得出d=OP；
（3）根據(jù)（2）的結論，可知OP的長與P到直線l的距離相等，可過A作直線垂直于x軸，與拋物線的交點即為滿足條件的P點，容易求得OP+AP和P點坐標．

解答 解：（1）∵拋物線關于y軸對稱，
∴n=0，
∵拋物線經(jīng)過點（-1，-$\frac{3}{4}$），
∴m+m-$\frac{5}{4}$=-$\frac{3}{4}$，解得m=$\frac{1}{4}$；
（2）d=OP．證明如下：
由（1）可知拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-1，故可設P點坐標為（x，$\frac{1}{4}$x²-1），
∴點P到直線l的距離d=$\frac{1}{4}$x²-1-（-2）=$\frac{1}{4}$x²+1，
又∵OP=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{4}{x}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{16}{x}^{4}-\frac{1}{2}{x}^{2}+1}$=$\sqrt{\frac{1}{16}{x}^{4}+\frac{1}{2}{x}^{2}+1}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$x²+1，
∴d=OP；
（3）如圖，過A作直線t⊥x軸，與拋物線交于點P，交直線l于點B，

由（2）可知PO=PB，
∴OP+AP=PB+AP=AB，
∴此時P點滿足條件，
∴OP+AP=1-（-2）=3，把x=1代入拋物線解析式可求得y=-$\frac{3}{4}$，
∴OP+AP的最小值為3，此時點P的坐標為（1，-$\frac{3}{4}$）．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質、勾股定理等知識點．在（1）中確定出n是解題的關鍵，在（2）中利用勾股定理表示出OP的距離是解題的關鍵，在（3）中確定出P點的位置是解題的關鍵．本題所考查知識相對基礎，難度不大．