Question

3．由菱形ABCD向外作四個(gè)正方形，若菱形ABCD與八邊形的面積之比為1：11，則這個(gè)八邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是105°，165°．

Answer 1

分析 連接AC，BD，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD=AB=CD=BC，∠DAB+∠ADC=180°，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AA₁=AA₂=AD=AB=DD₂=DD₁，∠A₂AB=∠A₁AD=∠D₁DC=90°，推出△A₁AA₂≌△ADC，同理△₂CC₁≌△ADC，△B₁BB₂≌△ADB≌△D₁DD₂，于是得到S${\;}_{正方形{A}_{1}AD{D}_{2}}$=2S_菱形ABCD，過D作DE⊥AB與E，設(shè)菱形的邊長為a，得到DE=$\frac{1}{2}$AD，求得∠DAB=30°，得到∠ADC=150°，于是得到結(jié)論．

解答 解：連接AC，BD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=AB=CD=BC，∠DAB+∠ADC=180°，
∵四邊形A₁ADD₂，四邊形AA₂B₁B，四邊形DD₁C₂C是正方形，
∴AA₁=AA₂=AD=AB=DD₂=DD₁，∠A₂AB=∠A₁AD=∠D₁DC=90°，
∴∠A₁AA₂+∠DAB=180°，
∴∠A₁AA₂=∠ADC，
在△A₁AA₂與△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{1}=AD}\\{∠{A}_{1}A{A}_{2}=∠ADC}\\{A{A}_{2}=AB}\end{array}\right.$，
∴△A₁AA₂≌△ADC，
同理△₂CC₁≌△ADC，△B₁BB₂≌△ADB≌△D₁DD₂，
∴S${\;}_{△{A}_{1}A{A}_{2}}$+S${\;}_{△{C}_{1}C{C}_{2}}$+S${\;}_{{B}_{1}B{B}_{2}}$+S${\;}_{△{D}_{1}D{D}_{2}}$=2S_菱形ABCD，
∵菱形ABCD與八邊形的面積之比為1：11，
∴S${\;}_{正方形{A}_{1}AD{D}_{2}}$=2S_菱形ABCD，
過D作DE⊥AB與E，
設(shè)菱形的邊長為a，
∴S${\;}_{正方形{A}_{1}AD{D}_{2}}$=a²=2S_菱形ABCD=2a•DE，
∴DE=$\frac{1}{2}$a，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠DAB=30°，
∴∠ADC=150°，
∴∠A₁AA₂=150°，∠D₂DD₁=30°，
∴∠AA₁A₂=15°，∠DD₂D₁=75°，
∴八邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是105°，165°．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．