Question

在△ABC中．
（1）如圖1，∠BAC和∠ACB的平分線交于點I，∠BAC=50°，∠ACB=70°，求∠AIC的度數；
（2）如圖2，∠BAC外角平分線的反向延長線與∠ACB的角平分線交于點O，則∠O和∠B有什么數量關系？并說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據角的平分線性質算出∠IAC和∠ICA的度數，再利用三角形內角和為180°，可求出∠AIC的度數；
（2）首先根據角的平分線性質可得∠ACO=

1

2

∠ACB，∠DAC=

1

2

∠EAC，再根據三角形內角與外角的關系可得∠O+∠ACO=∠DAC=

1

2

∠EAC，然后兩邊同時乘以2可得2∠O+∠ACB=∠EAC，
再由∠B+∠ACB=∠EAC即可得到∠B=2∠O．

解答：解：（1）∵AI平分∠BAC，
∴∠IAC=

1

2

∠BAC，
∵CI平分∠BCA，
∴∠ICA=

1

2

∠BCA，
∵∠BAC=50°，∠ACB=70°，
∴∠IAC=25°，∠ICA=35°，
∴∠AIC=180°-25°-35°=120°；

（2）數量關系：∠B=2∠O；
∵CO平分∠ACB，
∴∠ACO=

1

2

∠ACB，
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAC=

1

2

∠EAC，
∵∠O+∠ACO=∠DAC=

1

2

∠EAC，
∴2∠O+∠ACB=∠EAC，
∵∠B+∠ACB=∠EAC，
∴∠B=2∠O．

點評：此題主要考查了角平分線的性質，三角形內角與外角的關系，三角形內角和定理，關鍵是根據角平分線的性質得到角之間的關系．