Question

7．如圖，點B（3，3）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，點D在雙曲線y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）上，點A和點C分別在x軸，y軸的正半軸上，且點A，B，C，D構成的四邊形為正方形．

（1）求k的值；
（2）求點A的坐標；
（3）在（1）問的情況下，是否存在x軸上的點M和反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）圖象上的點N，使得四邊形MCNB是平行四邊形？如果存在，請求出點M和點N的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把B點坐標代入y=$\frac{k}{x}$可求得k的值；
（2）分別過B、D作x軸的垂線，垂足分別為E、F，可證得△ABE≌△DAF，可求得DF=AE，AF=BE，可求得OF=OD，再代入y=-$\frac{4}{x}$可求得D點坐標，則可求得OA的長，可求得A點坐標；
（3）由勾股定理可求得BD的長，可知AC的長，則可求得C點坐標，可求得BC的中點坐標，由四邊形MCNB為平行四邊形可知MN過BC與MN互相平分，設M點坐標為（x，0），則可表示出N點坐標，代入y=$\frac{k}{x}$可求得x的值，則可求得M、N的坐標．

解答 解：
（1）∵點B（3，3）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴3=$\frac{k}{3}$，
∴k=9；
（2）分別過B、D作x軸的垂線，垂足分別為E、F，

∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠FDA+∠DAF=∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠FDA=∠BAE，
在△ABE和△DAF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FDA}\\{∠BEA=∠DFA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴AF=BE，DF=AE，
∵B（3，3），
∴BE=OE=AF=3，
∴FO=AE=DF，
∴可設D點坐標為（x，-x）（x＜0），
∵點D在雙曲線y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）上，
∴-x²=-4，解得x=2（舍去）或x=-2，
∴D（-2，2），
∴OF=2，
∴OA=AF-OF=3-2=1，
∴A（1，0）；
（3）∵B（3，3），D（-2，2），
∴BD=$\sqrt{[3-（-2）]^{2}+（3-2）^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC=BD=$\sqrt{26}$，
∴OA²+OC²=26，即1²+OC²=26，解得OC=5，
∴C（0，5），
設BC的中點為H，則H（$\frac{3}{2}$，4），
∵四邊形MCNB為平行四邊形，
∴MN的中點也為H，
∵M在x軸上，
∴可設M（t，0），N（m，n），
則t+m=2×$\frac{3}{2}$=3，n=8，
∴N（3-t，8），
∵點N在反比例函數(shù)y=$\frac{9}{x}$（x＞0）上，
∴8（3-t）=9，解得t=$\frac{15}{8}$，
∴M（$\frac{15}{8}$，0），N（$\frac{9}{8}$，8），即存在滿足條件的M、N．

點評 本題為反比例函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質、正方形的性質、勾股定理、平行四邊形的性質、方程思想等知識．在（1）中注意函數(shù)圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式，在（2）中證得OF=AE是解題的關鍵，即求得D點坐標，在（3）中注意BC的中點也是線段MN的中點是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．